Propositions et valeurs de vérité

« Ferme la porte » peut être suivi ou ignoré, mais ne peut être ni vrai ni faux. « La porte est fermée » le peut. La logique commence par cette différence entre deux phrases.

Les phrases qui peuvent être vraies ou fausses

La logique étudie les arguments : une liste de phrases appelées prémisses, suivie d'une phrase appelée conclusion, censée en découler. Toutes les phrases ne peuvent pas jouer ces rôles. Une question comme « Pleut-il ? » demande une information. Un ordre comme « Prends un parapluie » dit à quelqu'un quoi faire. Un cri comme « Aïe ! » exprime une douleur. Aucun n'affirme que quelque chose est le cas : ils ne peuvent donc pas être justes ou erronés comme une affirmation.

Compare avec « Il pleut à Busan en ce moment. » Cette phrase affirme quelque chose sur le monde, et c'est le monde qui détermine si elle dit vrai. Le manuel libre forall x définit une phrase, au sens logique, comme une phrase pouvant être vraie ou fausse. En cours de mathématiques et dans de nombreux manuels, on l'appelle un énoncé ou une proposition. Le fait d'être vraie ou fausse constitue sa valeur de vérité : toute proposition possède donc exactement l'une de ces deux valeurs.

Il n'est pas nécessaire de connaître la vérité d'une proposition. « Le nombre de grains de sable sur la plage de Haeundae est pair » est une proposition : elle est vraie ou fausse, même si personne ne fera jamais le compte. « Il existe de la vie sur une planète d'une autre étoile » en est une aussi. La logique s'intéresse à l'existence d'une valeur de vérité, laissant aux sciences, à l'histoire ou à une simple vérification le soin de la déterminer.

Opinions, mots vagues et énoncés ouverts

Deux traditions divergent ici. forall x avertit qu'il ne faut pas confondre une phrase pouvant être vraie ou fausse avec la distinction entre fait et opinion : « Le ragoût de kimchi est le meilleur plat » reste une phrase pouvant servir de prémisse. Les mathématiques scolaires coréennes sont plus strictes. Leurs manuels ne parlent de proposition que lorsque chacun peut clairement décider si elle est vraie. Ils écartent donc les jugements de valeur comme « meilleur plat » ou « une belle chanson ». Ce cours suit le manuel de logique, mais pour un contrôle scolaire, applique la règle plus stricte.

Les mots vagues posent un problème voisin. « Minho est grand » n'a pas de valeur de vérité fixée tant qu'on ne s'accorde pas sur le sens de grand. Une phrase avec une variable, comme « x + 2 = 5 », est vraie lorsque x vaut 3 et fausse sinon : seule, elle n'est donc pas encore une proposition. Les manuels coréens l'appellent une condition. Les pronoms fonctionnent de même : « Elle est née en 2009 » ne devient une proposition que lorsqu'on sait de qui il s'agit.

Négation : renverser une proposition

Pour toute proposition p, sa négation, notée ¬p et lue « non p », est vraie exactement lorsque p est fausse. La négation de « Le magasin est ouvert » est « Le magasin n'est pas ouvert ». Jusque-là, c'est simple. Le piège vient des mots comme tous et certains. La négation de « Tous les bus sont en retard » n'est pas « Aucun bus n'est en retard ». C'est « Tous les bus ne sont pas en retard », au sens où au moins un bus est à l'heure. Pour vérifier une négation, demande-toi si, dans chaque situation, une seule des deux phrases doit être vraie. Si elles peuvent être fausses ensemble, tu as écrit un contraire, pas une négation.

Les propositions comme « Le magasin est ouvert » sont dites simples ou atomiques. Les mots et, ou, non et si... alors relient des propositions simples en propositions composées, dont la valeur de vérité dépend uniquement de celle de leurs constituants. Les unités suivantes examinent ces connecteurs un à un.