Et, ou, non

Sur un menu, « soupe ou salade » signifie généralement l'une des deux. En logique, « p ou q » reste vrai lorsque les deux sont vrais, et cette seule règle tranche la plupart des désaccords sur le mot ou.

Et : les deux parties doivent être vraies

Prenons deux propositions, p : « Le magasin vend du pain » et q : « Le magasin vend du lait ». La conjonction p ∧ q, lue « p et q », affirme les deux à la fois. Elle n'est vraie que dans une situation : lorsque p et q sont toutes deux vraies. Si le magasin a du pain mais pas de lait, « Le magasin vend du pain et du lait » est faux, car la moitié de ce qui est annoncé manque. Deux propositions donnent quatre situations possibles (TT, TF, FT, FF), et leur conjonction est vraie dans une seule.

L'anglais et le coréen possèdent plusieurs mots qui jouent le même rôle logique que et. « L'appartement est petit mais lumineux » affirme qu'il est petit et qu'il est lumineux ; mais ajoute un contraste, et forall x le traite donc comme une conjonction. Bien que, pourtant, aussi et tandis que (au sens de alors que) fonctionnent généralement de même. La logique conserve les conditions de vérité et écarte le ton.

Ou : au moins une partie est vraie

La disjonction p ∨ q, lue « p ou q », est vraie lorsqu'au moins l'une des propositions p et q est vraie. Elle n'est fausse que lorsque les deux sont fausses. C'est le ou inclusif, toujours représenté par ∨. Supposons qu'une offre d'emploi indique « Les candidats doivent parler japonais ou chinois ». Quelqu'un qui parle les deux n'est évidemment pas refusé. C'est la lecture inclusive.

Parfois, on veut bien dire « l'un ou l'autre, mais pas les deux ». Un menu proposant « café ou thé » permet rarement de prendre les deux. C'est le ou exclusif. forall x ne lui attribue pas de symbole de base distinct : on le construit avec les autres, (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q), soit au moins un, mais pas les deux. Face à une phrase ambiguë, demande quel sens la personne veut donner, puis écris la forme exclusive en entier si c'est celui-là.

Non et les lois de De Morgan

La négation inverse une valeur de vérité. Le cas intéressant apparaît quand on nie toute une conjonction ou disjonction. « Il est faux que l'appartement soit bon marché et près de la gare » est vrai dès qu'au moins une partie échoue : l'appartement n'est pas bon marché, ou il n'est pas près de la gare, ou les deux. Ainsi, ¬(p ∧ q) a la même valeur de vérité que ¬p ∨ ¬q sur chaque ligne. De même, « Il est faux qu'on puisse payer en espèces ou par carte » signifie qu'aucun des deux moyens n'est possible : ¬(p ∨ q) correspond à ¬p ∧ ¬q. Ces deux équivalences sont les lois de De Morgan, du nom du logicien du dix-neuvième siècle Augustus De Morgan.

L'erreur fréquente consiste à faire entrer le non dans la parenthèse sans changer le connecteur. « Non (bon marché et proche) » ne signifie pas « pas bon marché et pas proche ». Un appartement bon marché mais loin de la gare rend la première phrase vraie et la deuxième fausse. Chaque fois qu'un non entre dans les parenthèses, et devient ou, et ou devient et.

Les parenthèses comptent pour la même raison qu'en arithmétique. ¬p ∧ q signifie « non p, et q », tandis que ¬(p ∧ q) signifie « pas les deux ». Dans le premier cas, non porte uniquement sur p. Pour traduire une phrase courante en logique, détermine d'abord les mots sur lesquels porte la négation, puis place les parenthèses.