Y, o, no

En un menú, «sopa o ensalada» suele significar una de las dos. En lógica, «p o q» sigue siendo verdadera cuando ambas lo son, y esa única regla resuelve la mayoría de las discusiones sobre la palabra o.

Y: deben cumplirse ambas partes

Toma dos proposiciones, p: «La tienda vende pan» y q: «La tienda vende leche». La conjunción p ∧ q, leída «p y q», afirma ambas a la vez. Solo es verdadera en una situación: cuando p y q son verdaderas. Si hay pan pero no leche, «La tienda vende pan y leche» es falsa, porque falta la mitad de lo prometido. Con dos proposiciones hay cuatro situaciones posibles (TT, TF, FT, FF), y una conjunción es verdadera en exactamente una de ellas.

El inglés y el coreano tienen muchas palabras que cumplen la misma función lógica que y. «El departamento es pequeño pero luminoso» afirma que es pequeño y que es luminoso; pero añade un contraste, y por eso forall x lo trata como conjunción. Aunque, sin embargo, también y mientras que (en sentido de contraste) suelen funcionar igual. La lógica conserva las condiciones de verdad y deja de lado el tono.

O: se cumple al menos una parte

La disyunción p ∨ q, leída «p o q», es verdadera cuando al menos una de p y q es verdadera. Solo es falsa cuando ambas son falsas. Esto se llama o inclusiva, y el símbolo ∨ siempre tiene ese significado. Supón que una oferta de trabajo dice «Los candidatos deben hablar japonés o chino». Está claro que no rechazarán a quien hable ambos idiomas. Esa es la interpretación inclusiva.

A veces sí queremos decir «una u otra, pero no ambas». Un menú que ofrece «café o té» rara vez permite tomar los dos. Esta es la o exclusiva. En forall x no tiene un símbolo básico separado; se construye con los demás como (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q): al menos una, pero no ambas. Ante una oración ambigua, lo más seguro es preguntar qué interpretación pretende quien habla y escribir completa la versión exclusiva si es esa.

No y las leyes de De Morgan

La negación invierte un valor de verdad. Lo interesante es lo que ocurre al negar una conjunción o disyunción entera. «No es cierto que el departamento sea barato y esté cerca de la estación» es verdadera si falla al menos una parte: no es barato, no está cerca o ambas. En símbolos, ¬(p ∧ q) tiene el mismo valor de verdad que ¬p ∨ ¬q en todas las filas. Del mismo modo, «No es cierto que puedas pagar en efectivo o con tarjeta» significa que no puedes pagar de ninguna de las dos formas: ¬(p ∨ q) coincide con ¬p ∧ ¬q. Estas dos equivalencias se llaman leyes de De Morgan, por el lógico del siglo diecinueve Augustus De Morgan.

El error habitual es introducir el no en el paréntesis sin cambiar el conectivo. «No (barato y cerca)» no significa «no barato y no cerca». Un departamento barato pero lejos de la estación hace verdadera la primera oración y falsa la segunda. Siempre que una negación entra en los paréntesis, y pasa a o, y o pasa a y.

Los paréntesis importan por la misma razón que en aritmética. ¬p ∧ q significa «no p, y q», mientras que ¬(p ∧ q) significa «no ambas». En la primera, el no solo afecta a p. Al traducir una oración cotidiana a símbolos, decide primero qué palabras abarca la negación y luego coloca los paréntesis.