조건문과 대우

「비가 오면 경기는 취소된다.」가 틀렸다고 할 수 있는 경우는 하나뿐입니다. 비가 왔는데 경기를 그대로 한 경우입니다.

만약 p이면 q이다

조건문은 두 명제를 「만약 ~이면 ~이다」로 이어 붙인 문장입니다. 조건문 p → q는 「p이면 q이다」라고 읽고, 「이면」 앞에 오는 부분을 전건(가정), 그 뒤에 오는 부분을 후건(결론)이라고 합니다. 조건문을 하나의 약속이라고 생각하면 이해하기 쉽습니다. 예를 들어 부모가 아이에게 「시험에서 90점을 받으면 자전거를 사 줄게.」라고 했다고 합시다. 부모는 언제 이 약속을 어긴 것일까요? 아이가 90점을 받았는데 자전거가 오지 않았을 때, 오직 그때뿐입니다. 아이가 90점을 받고 자전거도 받았다면 부모는 약속을 지킨 것입니다. 아이가 80점을 받았다면, 약속은 그 경우에 대해 아무것도 말하지 않았습니다. 그러므로 자전거가 생기든 생기지 않든 누구도 부모가 거짓말을 했다고 말할 수 없습니다.

이 약속 이야기에서 논리에서 쓰는 조건문의 진리표가 나옵니다. 이런 조건문을 흔히 실질 조건문이라고 부릅니다. 정리하면 p → q는 p가 참이고 q가 거짓인 단 한 줄에서만 거짓이고, 나머지 세 줄에서는 모두 참입니다. 이 가운데 전건이 거짓인 두 줄은 처음 보면 이상하게 느껴집니다. 예를 들어 「달이 치즈로 되어 있으면 2 + 2 = 4이다.」라는 문장도 참으로 나오기 때문입니다. 논리가 이것을 참으로 받아들이는 까닭은, 이 문장이 틀렸다고 들킬 상황이 하나도 없기 때문입니다. 이 문장에는 전건이 맞으면서 후건이 틀리는 경우가 없습니다. 그런데 우리가 일상에서 쓰는 「~이면」에는 원인이나 의미의 연결 같은 것이 더 담길 때도 있습니다. 하지만 실질 조건문은 그 가운데 확인할 수 있는 부분만 남깁니다.

역, 이, 대우

조건문 하나가 있으면, 그 조건문에서 친척 같은 문장 세 가지를 만들어 낼 수 있습니다. 먼저 「어떤 동물이 고래이면 그 동물은 포유류이다.」(p → q)라는 문장에서 시작합니다. 역은 두 부분의 자리를 바꿉니다. 「어떤 동물이 포유류이면 그 동물은 고래이다.」(q → p). 「이」는 두 부분을 모두 부정합니다. 「어떤 동물이 고래가 아니면 그 동물은 포유류가 아니다.」(¬p → ¬q). 대우는 자리를 바꾸고 둘 다 부정합니다. 「어떤 동물이 포유류가 아니면 그 동물은 고래가 아니다.」(¬q → ¬p).

이 셋 가운데 원래 문장과 진릿값이 언제나 같다고 보장되는 것은 셋째인 대우 하나뿐입니다. 고래 예에서 원래 문장은 참이고, 그 대우도 참입니다. 포유류가 아닌 것은 무엇이든 고래일 수 없기 때문입니다. 반면 역과 이는 이 경우 둘 다 거짓인 문장입니다. 예를 들어 개는 포유류이지만 고래가 아니기 때문입니다. 또 하나 눈여겨볼 것이 있습니다. 역과 이는 서로가 서로의 대우입니다. 그래서 역과 이 둘끼리는 언제나 진릿값이 같습니다. 수학에서 p → q를 증명해야 하는데 바로 증명하기가 까다로울 때, 그 대신 ¬q → ¬p를 증명하는 것은 수학에서 흔히 쓰는 방법입니다.

~일 때만, ~가 아니면, 필요조건과 충분조건

조건문은 「만약 ~이면」이 아닌 다른 말 속에 숨어 있기도 합니다. forall x 는 영어의 「p only if q」를 q → p가 아니라 p → q로 기호화한다고 짚어 줍니다. 영어 「p only if q」를 우리말로 옮기면 「q일 때만 p이다」입니다. 예를 들어 「표가 있을 때만 탑승할 수 있다」는 탑승하려면 반드시 표가 필요하다는 뜻입니다. 그래서 기호로는 탑승 → 표입니다. 이 문장은 표만 있으면 반드시 비행기에 태워 준다는 약속은 아닙니다. 조건문 p → q에서 p를 q의 충분조건이라고 하고, q를 p의 필요조건이라고 합니다. 표를 가지고 있는 것은 탑승의 필요조건이지만 충분조건은 아닙니다. 표 말고도 여권과 좌석이 있어야 하기 때문입니다. 「p일 때 그리고 그때만 q」는 두 방향을 다 주장하는 문장이며, p ↔ q로 쓰고 쌍조건문이라고 부릅니다.