Implikationen und Kontraposition

„Wenn es regnet, fällt das Spiel aus“ kann nur auf eine Weise verletzt werden: Es regnet und das Spiel findet trotzdem statt.

Wenn p, dann q

Eine Implikation verbindet zwei Aussagen durch wenn … dann. In p → q, gelesen „wenn p, dann q“, heißt der Teil nach wenn Antezedens und der Teil nach dann Konsequens. Stell dir eine Implikation als Versprechen vor. Ein Elternteil sagt: „Wenn du im Test 90 Punkte erreichst, kaufe ich dir ein Fahrrad.“ Wann ist das Versprechen gebrochen? Nur wenn das Kind 90 Punkte erreicht und kein Fahrrad bekommt. Erreicht es 90 Punkte und bekommt das Fahrrad, wurde das Versprechen gehalten. Bei 80 Punkten sagt das Versprechen nichts über den Fall aus. Ob es dann ein Fahrrad gibt oder nicht, von einer Lüge kann niemand sprechen.

Daraus ergibt sich die Wahrheitstabelle der logischen Implikation, auch materielle Implikation genannt: p → q ist in genau einer Zeile falsch, nämlich wenn p wahr und q falsch ist. In den anderen drei ist sie wahr. Die beiden Zeilen mit falschem Antezedens wirken zunächst seltsam. „Wenn der Mond aus Käse besteht, dann ist 2 + 2 = 4“ ergibt wahr. Die Logik akzeptiert dies, weil der Satz nie widerlegt wird: Es gibt keine Situation, in der seine Voraussetzung zutrifft und seine Folgerung nicht. Das alltägliche wenn kann mehr ausdrücken, etwa eine Ursache oder einen inhaltlichen Zusammenhang. Die materielle Implikation behält nur den prüfbaren Teil.

Umkehrung, Inversion und Kontraposition

Aus einer Implikation kannst du drei verwandte Aussagen bilden. Beginne mit „Wenn ein Tier ein Wal ist, dann ist es ein Säugetier“ (p → q). Die Umkehrung vertauscht die Teile: „Wenn ein Tier ein Säugetier ist, dann ist es ein Wal“ (q → p). Die Inversion verneint beide Teile: „Wenn ein Tier kein Wal ist, dann ist es kein Säugetier“ (¬p → ¬q). Die Kontraposition vertauscht und verneint: „Wenn ein Tier kein Säugetier ist, dann ist es kein Wal“ (¬q → ¬p).

Nur die Kontraposition hat garantiert denselben Wahrheitswert wie das Original. Das Original ist wahr und seine Kontraposition ebenfalls: Was kein Säugetier ist, kann kein Wal sein. Umkehrung und Inversion sind beide falsch, denn ein Hund ist ein Säugetier, aber kein Wal. Beachte auch: Umkehrung und Inversion sind Kontrapositionen voneinander und stimmen daher immer überein. Sollst du p → q beweisen und ist ein direkter Beweis schwierig, ist der Beweis von ¬q → ¬p ein übliches mathematisches Verfahren.

Nur wenn, es sei denn, notwendig und hinreichend

Auch andere Formulierungen drücken Implikationen aus. forall x betont, dass „p nur wenn q“ als p → q und nicht als q → p geschrieben wird. „Du darfst nur einsteigen, wenn du ein Ticket hast“ sagt, dass Einsteigen ein Ticket voraussetzt: einsteigen → Ticket. Es verspricht nicht, dass ein Ticket zum Einsteigen genügt. In p → q heißt p eine hinreichende Bedingung für q und q eine notwendige Bedingung für p. Ein Ticket ist zum Einsteigen notwendig, aber nicht hinreichend, denn du brauchst auch einen Pass und einen Sitzplatz. „q genau dann, wenn p“ behauptet beide Richtungen und wird p ↔ q geschrieben. Das ist eine Äquivalenz.