Implikasi dan kontraposisi

“Jika hujan, pertandingan dibatalkan” hanya dapat dilanggar dengan satu cara: hujan turun dan pertandingan tetap berlangsung.

Jika p, maka q

Implikasi menggabungkan dua pernyataan dengan jika ... maka. Dalam p → q, dibaca “jika p, maka q”, bagian setelah jika adalah anteseden dan bagian setelah maka adalah konsekuen. Bayangkan implikasi sebagai janji. Orang tua berkata, “Jika nilai ujianmu 90, aku akan membelikanmu sepeda.” Kapan janji itu dilanggar? Hanya ketika anak mendapat nilai 90 tetapi tidak mendapat sepeda. Jika anak mendapat 90 dan sepeda, janji dipenuhi. Jika nilainya 80, janji tidak mengatakan apa pun tentang keadaan itu. Jadi, diberi sepeda ataupun tidak, tidak ada yang bisa mengatakan orang tuanya berbohong.

Dari sini diperoleh tabel kebenaran implikasi dalam logika, yang sering disebut implikasi material: p → q salah tepat pada satu baris, saat p benar dan q salah, serta benar pada tiga baris lainnya. Dua baris dengan anteseden salah awalnya terasa janggal. “Jika Bulan terbuat dari keju, maka 2 + 2 = 4” bernilai benar. Logika menerimanya karena kalimat itu tidak pernah terbantahkan: tidak ada keadaan saat antesedennya terpenuhi tetapi konsekuennya tidak. Kata “jika” sehari-hari kadang memuat makna lebih, seperti sebab atau hubungan makna, tetapi implikasi material hanya mempertahankan bagian yang dapat diperiksa.

Konvers, invers, dan kontraposisi

Dari satu implikasi kamu dapat menyusun tiga bentuk terkait. Mulailah dengan “Jika hewan itu paus, maka ia mamalia” (p → q). Konvers menukar bagiannya: “Jika hewan itu mamalia, maka ia paus” (q → p). Invers menegasikan kedua bagian: “Jika hewan itu bukan paus, maka ia bukan mamalia” (¬p → ¬q). Kontraposisi menukar sekaligus menegasikan: “Jika hewan itu bukan mamalia, maka ia bukan paus” (¬q → ¬p).

Hanya kontraposisi yang dijamin memiliki nilai kebenaran sama dengan pernyataan asal. Pernyataan asal benar, begitu pula kontraposisinya: hewan yang bukan mamalia tidak mungkin paus. Konvers dan invers sama-sama salah, karena anjing adalah mamalia tetapi bukan paus. Perhatikan juga bahwa konvers dan invers saling merupakan kontraposisi, sehingga nilai keduanya selalu sama. Ketika harus membuktikan p → q tetapi pembuktian langsung sulit, membuktikan ¬q → ¬p merupakan langkah lazim dalam matematika.

Hanya jika, kecuali, perlu, dan cukup

Bahasa Inggris menyembunyikan implikasi dalam ungkapan lain. forall x menegaskan bahwa “p hanya jika q” dilambangkan p → q, bukan q → p. “Kamu boleh naik pesawat hanya jika memiliki tiket” berarti naik pesawat memerlukan tiket: naik → tiket. Kalimat itu tidak menjanjikan bahwa tiket pasti membuatmu bisa naik pesawat. Dalam implikasi p → q, p disebut syarat cukup bagi q, sedangkan q syarat perlu bagi p. Memiliki tiket perlu untuk naik pesawat; tetapi belum cukup, karena kamu juga memerlukan paspor dan tempat duduk. “q jika dan hanya jika p” menyatakan kedua arah dan ditulis p ↔ q, yaitu biimplikasi.