条件文と対偶

「雨が降れば試合は中止になる」が破られるのは、雨が降っているのに試合を行う場合だけです。

pならばq

条件文は2つの命題を「もし…ならば」で結びます。p → qは「pならばq」と読み、前半を前件、後半を後件と呼びます。条件文を約束と考えてみましょう。親が「試験で90点を取ったら自転車を買ってあげる」と言いました。約束を破ったことになるのは、子どもが90点を取ったのに自転車がもらえなかった場合だけです。90点を取って自転車をもらえば、約束は守られました。80点だった場合については何も約束していないので、自転車をもらえてももらえなくても、親がうそをついたとはいえません。

これが論理学で使う条件文の真理値表です。この条件文は実質含意とも呼ばれ、p → qはpが真でqが偽の1行だけで偽、残りの3行では真です。前件が偽の2行は最初は奇妙に感じるでしょう。「月がチーズでできているならば2 + 2 = 4」は真になります。前件が成り立つのに後件が成り立たない状況がないため、反例を示せないからです。日常の「もし」には因果関係や意味のつながりも含まれますが、実質含意は確認できる部分だけを残します。

逆、裏、対偶

1つの条件文から、関連する3つの文を作れます。「クジラならば哺乳類である」（p → q）から始めましょう。逆は前後を入れ替え、「哺乳類ならばクジラである」（q → p）です。裏は両方を否定し、「クジラでないならば哺乳類ではない」（¬p → ¬q）です。対偶は入れ替えて両方を否定し、「哺乳類でないならばクジラではない」（¬q → ¬p）です。

元の文と必ず同じ真理値になるのは対偶だけです。元の文も対偶も真です。哺乳類でない動物がクジラであることはありません。逆と裏はどちらも偽で、犬は哺乳類ですがクジラではありません。また、逆と裏は互いに対偶なので、常に同じ真理値になります。p → qを直接証明しにくいとき、代わりに¬q → ¬pを証明するのは、数学でよく使う方法です。

「ときに限る」「でない限り」、必要条件と十分条件

英語では、ほかの表現にも条件文が隠れています。『forall x』は「p only if q」をq → pではなくp → qと表すと指摘します。「チケットがあるときに限り搭乗できる」は、搭乗にはチケットが必要という意味です。搭乗 → チケットであり、チケットがあれば搭乗できるという約束ではありません。p → qではpをqの十分条件、qをpの必要条件と呼びます。チケットは搭乗の必要条件ですが、パスポートや座席も必要なので十分条件ではありません。「q if and only if p」は両方向を主張する双条件文で、p ↔ qと書きます。