Импликация и контрапозиция

«Если идёт дождь, матч отменяется» можно нарушить лишь одним способом: дождь идёт, а матч проводится.

Если p, то q

Условное высказывание соединяет два высказывания словами «если … то». В p → q, читаемом «если p, то q», часть после «если» называется условием, а часть после «то» следствием. Представь это как обещание. Родитель говорит: «Если наберёшь 90 на тесте, куплю тебе велосипед». Когда обещание нарушено? Только если ребёнок набрал 90, а велосипеда нет. Если он набрал 90 и получил велосипед, обещание выполнено. Если он набрал 80, обещание ничего об этом не говорило: появился велосипед или нет, обвинить родителя во лжи нельзя.

Так получается таблица истинности используемой в логике импликации, часто называемой материальной: p → q ложно ровно в одной строке, где p истинно, а q ложно, и истинно в остальных трёх. Две строки с ложным условием сначала кажутся странными. «Если Луна сделана из сыра, то 2 + 2 = 4» оказывается истинным. Логика принимает это, поскольку высказывание невозможно уличить в нарушении: нет ситуации с выполненным условием и ложным следствием. В быту «если» иногда несёт дополнительный смысл, например причинную или смысловую связь, но материальная импликация сохраняет лишь проверяемую часть.

Обратное, противоположное и контрапозитивное высказывания

Из одной импликации можно построить три родственных высказывания. Начнём с «Если животное является китом, то оно млекопитающее» (p → q). Обратное меняет части местами: «Если животное млекопитающее, то оно кит» (q → p). Противоположное отрицает обе части: «Если животное не кит, то оно не млекопитающее» (¬p → ¬q). Контрапозитивное меняет части местами и отрицает их: «Если животное не млекопитающее, то оно не кит» (¬q → ¬p).

Только контрапозитивное гарантированно имеет то же значение истинности, что и исходное. Исходное истинно, как и его контрапозиция: не являющееся млекопитающим животное не может быть китом. Обратное и противоположное ложны, ведь собака млекопитающее, но не кит. Заметь: обратное и противоположное являются контрапозициями друг друга, поэтому всегда совпадают по истинности. Если нужно доказать p → q, а прямое доказательство неудобно, стандартный математический приём состоит в доказательстве ¬q → ¬p.

Только если, если не, необходимое и достаточное

В английском условные высказывания скрываются и в других оборотах. forall x отмечает: «p только если q» обозначается p → q, а не q → p. «Посадка разрешена, только если есть билет» означает, что посадка требует билета: посадка → билет. Это не обещает, что билет гарантирует попадание в самолёт. В p → q условие p называется достаточным для q, а q необходимым для p. Билет необходим для посадки, но недостаточен: ещё нужны паспорт и место. «q тогда и только тогда, когда p» утверждает оба направления и записывается p ↔ q; это эквиваленция.