Таблицы истинности
Три буквы дают 2 × 2 × 2 = 8 строк, а таблица истинности выписывает их все, не оставляя случаев для догадок.
По строке на каждую возможную ситуацию
У связок из последних двух уроков есть полезное свойство: зная истинность каждой простой части, можно однозначно определить истинность всего составного высказывания. Таблица истинности использует это. Она перечисляет все сочетания значений истинности простых высказываний, по одному в строке, затем вычисляет значение составного в каждой строке. Смысл предложений не нужен, только T и F.
Сколько строк? Каждое простое высказывание бывает T или F, поэтому новая буква удваивает число строк. Одна буква даёт 2 строки, две дают 4, три дают 8, n букв дают 2 в степени n. Уже пять букв дают 32 строки, поэтому часто работающие с таблицами люди стараются сокращать формулы. Обычный порядок из forall x и большинства учебников: в первом столбце верхняя половина T, нижняя F, во втором чередование четвертей и так далее, пока последний не чередует T, F, T, F. Такой порядок исключает пропуски и повторы.
От внутренних частей к внешним
Возьмём (p ∨ q) ∧ ¬r. После трёх входных столбцов добавь столбец для каждой части в порядке раскрытия скобок в арифметике: сначала p ∨ q, затем ¬r, затем главная связка ∧, которая их соединяет. В каждой строке применяется лишь одно небольшое правило предыдущих уроков. Последний столбец даёт ответ. Здесь всё высказывание истинно в 3 из 8 строк: там, где r ложно и хотя бы одно из p и q истинно.
Тавтологии, противоречия и равносильность
Иногда последний столбец целиком состоит из T. Высказывание p ∨ ¬p («дождь идёт или дождь не идёт») истинно в каждой строке при любой погоде. Такое высказывание называется тавтологией, или логической истиной. Другие столбцы целиком состоят из F, например p ∧ ¬p; это противоречия. Большинство высказываний истинно в одних строках и ложно в других, поэтому называется выполнимыми, но не тождественно истинными: их истинность зависит от устройства мира.
Два высказывания равносильны, если их последние столбцы совпадают строка за строкой. Так проверяют законы де Моргана или равносильность импликации её контрапозиции: строй оба столбца при одинаковых входных данных и сравнивай. Таблица также показывает, что p → q совпадает по столбцу с ¬p ∨ q. Это удобная замена импликации, если разрешены только «не», «и» и «или».
- Сколько строк в таблице истинности с 3 буквами?
- Сколько строк в таблице истинности с 5 буквами?
- Что является тавтологией?
- p ∨ ¬p
- p ∧ ¬p
- p → ¬p
- p ∧ ¬p является
- тавтологией
- противоречием
- выполнимым, но не тождественно истинным
- В скольких из 8 строк истинно (p ∨ q) ∧ ¬r?
- Что имеет ту же таблицу истинности, что p → q?
- ¬p ∨ q
- p ∨ ¬q
- ¬p → ¬q
- В таблице с 4 буквами в обычном порядке сколько T в первом столбце?
- Два высказывания равносильны, когда
- их последние столбцы совпадают в каждой строке
- у них есть хотя бы одна общая строка T
- они используют одинаковые буквы
- Расположи шаги построения таблицы истинности по порядку.
- Высказывание истинно в одних строках и ложно в других. Оно
- выполнимым, но не тождественно истинным
- тавтологией
- противоречием
- n букв дают 2 в степени n строк.
- Заполняй входные данные половинами, четвертями и так далее, чтобы ничего не пропустить.
- Иди изнутри наружу; столбец главной связки даёт ответ.
- Все T: тавтология. Все F: противоречие. Одинаковые столбцы: равносильность.
Источники курса (9)
- P. D. Magnus, Tim Button, Aaron Thomas-Bolduc, Richard Zach, forall x: Calgary , chapters 1 to 6 on sentences, arguments, validity, soundness, connectives and truth tables (forallx.openlogicproject.org/html/)
- Stanford Encyclopedia of Philosophy, Robin Smith, "Aristotle's Logic" (plato.stanford.edu/entries/aristotle-logic/)
- definition of deduction from Prior Analytics I.2 24b18-20, the three figures and the medieval names Barbara and Celarent
- Aristotle, On Interpretation 17a, E. M. Edghill translation (classics.mit.edu/Aristotle/interpretation.1.1.html)
- "a prayer is a sentence, but is neither true nor false"
- Irving H. Anellis, "Peirce's Truth-functional Analysis and the Origin of Truth Tables" (arxiv.org/abs/1108.2429): Peirce manuscript of 1893, Shosky's 1997 find on a 1912 Russell typescript
- Emil Post, "Introduction to a general theory of elementary propositions", American Journal of Mathematics 43 (1921)
- Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (1921, English 1922)
- 4.31. Everyday example sentences are made up for teaching.
Проверено: 2026-10-17