Tablas de verdad

Tres letras dan 2 × 2 × 2 = 8 filas, y una tabla de verdad las escribe todas: no hay que adivinar ningún caso.

Una fila por cada situación posible

Los conectivos de las dos últimas unidades tienen una propiedad útil: al conocer el valor de verdad de cada parte simple, queda fijado el de toda la proposición compuesta. Una tabla de verdad aprovecha esto. Enumera todas las combinaciones posibles de valores de verdad de las proposiciones simples, una por fila, y calcula el valor de la proposición compuesta en cada fila. No hace falta saber qué significan las oraciones, solo sus valores T y F.

¿Cuántas filas? Cada proposición simple puede ser T o F, así que cada letra nueva duplica la cantidad. Una letra da 2 filas; dos, 4; tres, 8; y n letras dan 2 elevado a n. Una tabla con cinco letras ya tiene 32 filas; por eso quienes las usan a menudo procuran escribir fórmulas cortas. El orden habitual, que usan forall x y la mayoría de los manuales, divide la primera columna en una mitad superior de T y otra inferior de F; la segunda, en cuartos, y así sucesivamente, hasta que la última alterna T, F, T, F. Ese patrón garantiza que ninguna combinación falte ni se repita.

De adentro hacia afuera

Toma (p ∨ q) ∧ ¬r. Después de las tres columnas de entrada, añade una columna por cada parte en el orden en que resolverías paréntesis en aritmética: primero p ∨ q, luego ¬r y al final el conectivo principal ∧ que las une. En cada fila aplicas una sola regla sencilla de las unidades anteriores. La última columna da la respuesta. Aquí la proposición completa es verdadera en 3 de las 8 filas: aquellas donde r es falsa y al menos una de p y q es verdadera.

Tautologías, contradicciones y equivalencia

Algunas columnas finales contienen solo T. La proposición p ∨ ¬p («llueve o no llueve») es verdadera en todas las filas, sea cual sea el tiempo. Se llama tautología o verdad lógica. Otras contienen solo F, como p ∧ ¬p: son contradicciones. La mayoría de las proposiciones son verdaderas en unas filas y falsas en otras; se llaman contingentes porque su verdad depende de cómo sea el mundo.

Dos proposiciones son equivalentes cuando sus columnas finales coinciden fila por fila. Así se comprueban las leyes de De Morgan o que un condicional coincide con su contrapositiva: construye ambas columnas con las mismas entradas y compáralas. La tabla también muestra que p → q tiene la misma columna que ¬p ∨ q, una forma útil de reescribir un condicional si un problema solo permite usar no, y y o.