Wahrheitstabellen

Drei Buchstaben ergeben 2 × 2 × 2 = 8 Zeilen. Eine Wahrheitstabelle führt jede einzelne auf, sodass kein Fall dem Raten überlassen bleibt.

Eine Zeile für jede mögliche Situation

Die Verknüpfungen aus den letzten beiden Einheiten haben eine nützliche Eigenschaft: Sobald die Wahrheitswerte aller einfachen Teile feststehen, steht auch der Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage fest. Das nutzt eine Wahrheitstabelle. Sie listet jede mögliche Kombination der Wahrheitswerte einfacher Aussagen in einer eigenen Zeile auf und berechnet daraus jeweils den Wert der zusammengesetzten Aussage. Die Bedeutung der Sätze brauchst du nicht, nur die Werte T und F.

Wie viele Zeilen? Jede einfache Aussage kann T oder F sein. Jeder neue Buchstabe verdoppelt daher die Zahl. Ein Buchstabe ergibt 2 Zeilen, zwei ergeben 4, drei ergeben 8 und n Buchstaben ergeben 2 hoch n. Eine Tabelle mit fünf Buchstaben hat bereits 32 Zeilen. Wer häufig damit arbeitet, hält seine Formeln deshalb kurz. Die übliche Reihenfolge, auch in forall x und den meisten Lehrbüchern, beginnt in der ersten Spalte mit einer oberen Hälfte T und einer unteren Hälfte F. Die zweite Spalte wechselt in Vierteln und so weiter, bis die letzte T, F, T, F abwechselt. So wird keine Kombination ausgelassen oder wiederholt.

Von innen nach außen arbeiten

Betrachte (p ∨ q) ∧ ¬r. Ergänze nach den drei Eingabespalten für jeden Teilausdruck eine Spalte, in derselben Reihenfolge wie beim Ausrechnen von Klammern: zuerst p ∨ q, dann ¬r, zuletzt die Hauptverknüpfung ∧. In jeder Zeile wendest du immer nur eine kleine Regel aus den vorigen Einheiten an. Die letzte Spalte ist das Ergebnis. Hier ist die gesamte Aussage in 3 der 8 Zeilen wahr, nämlich dort, wo r falsch und mindestens eine der Aussagen p und q wahr ist.

Tautologien, Kontradiktionen und Äquivalenz

Manche Ergebnisspalten enthalten nur T. Die Aussage p ∨ ¬p („Es regnet oder es regnet nicht“) ist unabhängig vom Wetter in jeder Zeile wahr. Eine solche Aussage heißt Tautologie oder logische Wahrheit. Andere Spalten enthalten nur F, etwa bei p ∧ ¬p. Das sind Kontradiktionen, also Widersprüche. Die meisten Aussagen sind in einigen Zeilen wahr und in anderen falsch. Sie heißen kontingent: Ihre Wahrheit hängt davon ab, wie die Welt tatsächlich ist.

Zwei Aussagen sind äquivalent, wenn ihre Ergebnisspalten Zeile für Zeile übereinstimmen. So prüfst du die De-Morgan-Regeln oder die Gleichwertigkeit von Implikation und Kontraposition: Erstelle beide Spalten für dieselben Eingaben und vergleiche sie. Die Tabelle zeigt auch, dass p → q dieselbe Spalte wie ¬p ∨ q hat. Damit kannst du eine Implikation umschreiben, wenn eine Aufgabe nur nicht, und und oder erlaubt.