Tabelas-verdade

Três letras produzem 2 × 2 × 2 = 8 linhas, e a tabela-verdade registra cada uma delas: nenhum caso fica por adivinhar.

Uma linha para cada situação possível

Os conectivos das duas últimas unidades têm uma propriedade útil: quando você sabe se cada parte simples é verdadeira ou falsa, o valor lógico da expressão composta fica determinado. A tabela-verdade usa essa propriedade. Ela lista todas as combinações possíveis de valores lógicos das proposições simples, uma por linha, e calcula o valor da proposição composta em cada linha. Não é preciso saber o significado das frases, apenas seus valores T e F.

Quantas linhas? Cada proposição simples pode ser T ou F, então cada letra nova dobra a contagem. Uma letra dá 2 linhas; duas dão 4; três dão 8; e n letras dão 2 elevado a n. Uma tabela com cinco letras já tem 32 linhas, por isso quem usa tabelas-verdade com frequência mantém as fórmulas curtas. Na ordem usual do forall x e da maioria dos livros, a primeira coluna tem T na metade superior e F na inferior; a segunda se divide em quartos, e assim por diante, até a última alternar T, F, T, F. Esse padrão garante que nenhuma combinação seja omitida ou repetida.

Calculando de dentro para fora

Considere (p ∨ q) ∧ ¬r. Depois das três colunas de entrada, acrescente uma coluna para cada parte, na ordem em que resolveria parênteses na aritmética: primeiro p ∨ q, depois ¬r e, por fim, o conectivo principal ∧ que as une. Em cada linha, você só aplica uma regra simples das unidades anteriores. A coluna final é a resposta. Aqui, a proposição inteira é verdadeira em 3 das 8 linhas: aquelas em que r é falsa e pelo menos uma entre p e q é verdadeira.

Tautologias, contradições e equivalência

Algumas colunas finais só têm T. A proposição p ∨ ¬p (“está chovendo ou não está chovendo”) é verdadeira em todas as linhas, qualquer que seja o tempo. Uma proposição assim é uma tautologia, ou verdade lógica. Outras colunas só têm F, como p ∧ ¬p; são contradições. A maioria das proposições é verdadeira em algumas linhas e falsa em outras; são chamadas de contingentes, pois sua verdade depende de como o mundo é.

Duas proposições são equivalentes quando suas colunas finais coincidem linha por linha. Assim você verifica as leis de De Morgan ou a afirmação de que uma condicional equivale à sua contrapositiva: construa ambas as colunas com as mesmas entradas e compare. A tabela também mostra que p → q tem a mesma coluna que ¬p ∨ q, uma forma útil de reescrever uma condicional quando o problema só permite usar não, e e ou.