Condicionais e contrapositiva

“Se chover, a partida será cancelada” só pode ser descumprida de um jeito: chove e a partida acontece.

Se p, então q

Uma condicional liga duas proposições com se ... então. Em p → q, lida “se p, então q”, a parte depois de se é o antecedente, e a parte depois de então é o consequente. Pense nela como uma promessa. Um responsável diz: “Se você tirar 90 na prova, vou comprar uma bicicleta para você”. Quando ele descumpre a promessa? Só quando a criança tira 90 e não recebe a bicicleta. Se tira 90 e ganha a bicicleta, a promessa foi cumprida. Se tira 80, a promessa nada dizia sobre esse caso; receba ou não a bicicleta, ninguém pode dizer que o responsável mentiu.

Isso dá a tabela-verdade da condicional usada na lógica, muitas vezes chamada de condicional material: p → q é falsa em exatamente uma linha, quando p é verdadeira e q é falsa, e verdadeira nas outras três. As duas linhas com antecedente falso parecem estranhas no início. “Se a Lua é feita de queijo, então 2 + 2 = 4” resulta em verdadeira. A lógica aceita isso porque a frase nunca é desmentida: não há uma situação em que o antecedente valha e o consequente falhe. No cotidiano, “se” às vezes expressa algo a mais, como causa ou relação de sentido, mas a condicional material conserva apenas a parte verificável.

Recíproca, inversa e contrapositiva

De uma condicional, você pode construir três formas relacionadas. Comece com “Se um animal é uma baleia, então é um mamífero” (p → q). A recíproca troca as partes: “Se um animal é um mamífero, então é uma baleia” (q → p). A inversa nega as duas partes: “Se um animal não é uma baleia, então não é um mamífero” (¬p → ¬q). A contrapositiva troca e nega: “Se um animal não é um mamífero, então não é uma baleia” (¬q → ¬p).

Só a contrapositiva tem garantia de ter o mesmo valor lógico da original. A original é verdadeira, assim como sua contrapositiva: o que não é mamífero não pode ser baleia. A recíproca e a inversa são falsas, pois um cachorro é mamífero e não é baleia. Observe também que a recíproca e a inversa são contrapositivas uma da outra, então sempre têm o mesmo valor entre si. Quando provar p → q diretamente é difícil, provar ¬q → ¬p é uma estratégia comum na matemática.

Somente se, a menos que, necessário e suficiente

O inglês esconde condicionais em outras expressões. O forall x destaca que “p somente se q” se escreve p → q, não q → p. “Você só pode embarcar se tiver passagem” diz que embarcar exige passagem: embarque → passagem. Não promete que a passagem garante o embarque. Na condicional p → q, p é uma condição suficiente para q, e q é uma condição necessária para p. Ter passagem é necessário para embarcar, mas não suficiente, pois você também precisa de passaporte e assento. “q se, e somente se, p” afirma os dois sentidos e se escreve p ↔ q, a bicondicional.