Логическая правильность и обоснованность
«Все рыбы умеют летать. Лосось является рыбой. Значит, лосось умеет летать». Заключение ложно, но рассуждение логически правильно, а для его недостатка в логике есть отдельное слово.
Что гарантирует правильное рассуждение
Рассуждение состоит из посылок в поддержку заключения. forall x определяет логическую правильность через контрпримеры: контрпример является случаем, где все посылки истинны, а заключение ложно; рассуждение правильно тогда и только тогда, когда таких случаев нет. Иначе говоря, правильное рассуждение гарантирует: приняв все посылки, нельзя отвергнуть заключение без противоречия себе. Оно ничего не гарантирует о фактической истинности посылок.
Поэтому рассуждение о летающем лососе правильно. Если бы все рыбы летали, а лосось был рыбой, он обязан был бы летать; случая с двумя истинными посылками и ложным заключением нет. Проблема в ложной первой посылке. Правильное рассуждение с истинными посылками называется обоснованным. У обоснованного рассуждения заключение гарантированно истинно. Рассуждение о лососе правильно, но не обоснованно.
| Заключение истинно | Заключение ложно | |
|---|---|---|
| Правильно | возможно (обоснованно, если все посылки истинны) | возможно, но тогда одна из посылок ложна |
| Неправильно | возможно | возможно |
Таблица выше показывает единственное исключённое правильностью сочетание: правильное рассуждение, все посылки истинны, заключение ложно. Все остальные сочетания возможны. В частности, неправильное рассуждение может иметь истинные посылки и истинное заключение. «Сеул находится в Корее. Значит, вода кипит при 100 °C на уровне моря» имеет истинную посылку и истинное заключение, но посылка никак не поддерживает вывод, поэтому рассуждение неправильно. Истинное заключение не делает рассуждение хорошим.
Правильность определяется формой
Многие рассуждения правильны благодаря форме независимо от темы предложений. Две формы встречаются постоянно. Modus ponens: p → q, p, следовательно q. Modus tollens: p → q, ¬q, следовательно ¬p. Две похожие формы неправильны, и Стэнфордская философская энциклопедия относит их к формальным ошибкам. Утверждение следствия: p → q, q, следовательно p. Отрицание условия: p → q, ¬p, следовательно ¬q. «Если аккумулятор разряжен, машина не заведётся. Машина не заводится. Значит, аккумулятор разряжен» является утверждением следствия: возможно, просто закончилось топливо.
Чтобы проверить рассуждение с буквами, построй общую таблицу со столбцами для каждой посылки и заключения, затем ищи строку-контрпример: все посылки T, заключение F. Если она есть, рассуждение неправильно. Если нет, правильно. Для утверждения следствия контрпримером служит строка p ложно, q истинно: p → q истинно, q истинно, заключение p ложно.
| логически правильное | Нет случая со всеми истинными посылками и ложным заключением |
| обоснованное | Правильное, и каждая посылка истинна |
| контрпример | Случай с истинными посылками и ложным заключением |
| modus ponens | p → q, p, значит q (правильно) |
| modus tollens | p → q, ¬q, значит ¬p (правильно) |
| утверждение следствия | p → q, q, значит p (неправильно) |
| отрицание условия | p → q, ¬p, значит ¬q (неправильно) |
- Рассуждение логически правильно, когда
- его заключение истинно
- нет случая со всеми истинными посылками и ложным заключением
- все его посылки истинны
- «Все птицы зелёные. Ворона является птицей. Значит, ворона зелёная». Это рассуждение
- правильно и обоснованно
- правильно, но не обоснованно
- неправильно
- Обоснованное рассуждение может иметь ложное заключение.
- Истина
- Ложь
- Неправильное рассуждение может иметь истинные посылки и истинное заключение.
- Истина
- Ложь
- «Если шёл снег, дороги белые. Дороги не белые. Значит, снег не шёл». Какая форма?
- modus ponens
- modus tollens
- утверждение следствия
- «Если ты занимаешься, ты сдаёшь экзамен. Ты сдал. Значит, ты занимался». Какая форма?
- modus ponens
- утверждение следствия
- отрицание условия
- «Если праздник, банк закрыт. Сегодня не праздник. Значит, банк открыт». Какая форма?
- отрицание условия
- modus tollens
- modus ponens
- Какая строка служит контрпримером для «p → q, q, значит p»?
- p T, q T
- p T, q F
- p F, q T
- p F, q F
- В полной таблице истинности нет строки-контрпримера. Рассуждение
- логически правильное
- обоснованное
- неправильно
- У правильного рассуждения ложное заключение. Что из этого следует?
- Хотя бы одна посылка ложна.
- Все посылки ложны.
- Всё-таки рассуждение неправильно.
- Правильность: нет случая с истинными посылками и ложным заключением.
- Обоснованность: правильность плюс истинность всех посылок.
- Modus ponens и modus tollens правильны; утверждение следствия и отрицание условия нет.
- Проверка таблицей истинности: ищи строку, где все посылки T, заключение F.
Источники курса (9)
- P. D. Magnus, Tim Button, Aaron Thomas-Bolduc, Richard Zach, forall x: Calgary , chapters 1 to 6 on sentences, arguments, validity, soundness, connectives and truth tables (forallx.openlogicproject.org/html/)
- Stanford Encyclopedia of Philosophy, Robin Smith, "Aristotle's Logic" (plato.stanford.edu/entries/aristotle-logic/)
- definition of deduction from Prior Analytics I.2 24b18-20, the three figures and the medieval names Barbara and Celarent
- Aristotle, On Interpretation 17a, E. M. Edghill translation (classics.mit.edu/Aristotle/interpretation.1.1.html)
- "a prayer is a sentence, but is neither true nor false"
- Irving H. Anellis, "Peirce's Truth-functional Analysis and the Origin of Truth Tables" (arxiv.org/abs/1108.2429): Peirce manuscript of 1893, Shosky's 1997 find on a 1912 Russell typescript
- Emil Post, "Introduction to a general theory of elementary propositions", American Journal of Mathematics 43 (1921)
- Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (1921, English 1922)
- 4.31. Everyday example sentences are made up for teaching.
Проверено: 2026-10-17