타당성과 건전성

「모든 물고기는 날 수 있다. 연어는 물고기다. 그러므로 연어는 날 수 있다.」 결론은 거짓인데 논증은 타당합니다. 무엇이 잘못됐는지 가리키는 말이 따로 있습니다.

타당한 논증이 약속하는 것

논증은 어떤 결론을 뒷받침하려고 내놓은 전제들의 모음입니다. forall x 는 반례라는 개념을 써서 타당성을 정의합니다. 반례란 전제가 모두 참인데 결론이 거짓인 경우를 말합니다. 그리고 논증은 그런 경우가 하나도 없을 때, 그리고 그때만 타당합니다. 바꿔 말하면, 타당한 논증은 이런 약속을 합니다. 전제를 모두 받아들인 사람은 스스로 모순에 빠지지 않고서는 결론을 거부할 수 없다는 약속입니다. 하지만 타당한 논증이라도 전제가 실제로 참인지에 대해서는 아무 약속도 하지 않습니다.

그래서 날아다니는 연어 논증은 내용이 엉뚱해 보여도 타당한 논증입니다. 만약 모든 물고기가 날 수 있고 연어가 물고기라면, 연어는 날 수밖에 없습니다. 두 전제가 모두 맞는데 결론만 틀리는 경우는 없습니다. 이 논증의 문제는 첫째 전제에 있고, 그 전제가 거짓이라는 데 있습니다. 타당하면서 전제도 모두 참인 논증을 건전한 논증이라고 합니다. 건전한 논증의 결론은 반드시 참이라고 보장됩니다. 그러니 연어 논증은 타당하지만 건전하지는 않은 논증입니다.

위 표는 타당성이 막아 주는 조합이 딱 하나뿐이라는 것을 보여 줍니다. 그 조합은 논증이 타당하고, 전제가 모두 참이고, 그런데도 결론이 거짓인 경우입니다. 그 밖의 조합은 모두 일어날 수 있습니다. 특히 부당한 논증인데도 전제와 결론이 모두 참인 경우가 있습니다. 「서울은 한국에 있다. 그러므로 해수면에서 물은 100 °C에서 끓는다.」는 전제도 참이고 결론도 참입니다. 하지만 전제가 결론을 전혀 뒷받침하지 않으므로 이 논증은 부당합니다. 결론이 참이라고 해서 그 논증이 좋은 논증이 되는 것은 아닙니다.

타당성은 형식에서 나옵니다

많은 타당한 논증은 문장이 무엇에 관한 것이든 상관없이, 그 모양 덕분에 타당합니다. 그런 모양 가운데 늘 나오는 것이 둘 있습니다. 전건 긍정(모두스 포넨스): p → q, p, 그러므로 q. 후건 부정(모두스 톨렌스): p → q, ¬q, 그러므로 ¬p. 이 둘과 비슷해 보이지만 부당한 모양도 둘 있는데, 스탠퍼드 철학 백과는 이 둘을 형식적 오류로 꼽습니다. 하나는 후건 긍정입니다. p → q, q, 그러므로 p. 다른 하나는 전건 부정입니다. p → q, ¬p, 그러므로 ¬q. 「배터리가 나가면 차 시동이 안 걸린다. 시동이 안 걸린다. 그러므로 배터리가 나갔다.」는 후건 긍정입니다. 시동이 안 걸리는 이유는 배터리 말고도 있어서, 기름이 떨어졌을 수도 있습니다.

문자로 된 논증이 타당한지 시험하려면 진리표 하나를 만듭니다. 전제마다 열을 하나씩, 결론에도 열을 하나 만든 다음 반례가 되는 줄을 찾습니다. 여기서 반례 줄이란 전제가 모두 T이고 결론이 F인 줄을 말합니다. 그런 줄을 단 하나라도 찾으면 그 논증은 부당하고, 그런 줄이 하나도 없으면 타당합니다. 후건 긍정에서는 p 거짓, q 참인 줄이 반례입니다. 이 줄에서는 p → q가 참이고 q도 참인데, 결론 p는 거짓입니다.