妥当性と健全性
「すべての魚は飛べる。サケは魚である。したがってサケは飛べる」。結論は偽ですが、論証は妥当です。論理学には、何がまずかったのかを表す別の言葉があります。
妥当な論証が保証すること
論証とは、結論を支えるために提示する前提の集まりです。『forall x』は反例を通じて妥当性を定義します。反例とは、すべての前提が真で結論が偽になる場合です。そのような場合が存在しないとき、かつそのときに限り論証は妥当です。つまり、妥当な論証では、すべての前提を受け入れたまま結論を否定すると矛盾します。前提が実際に真かどうかは保証しません。
だから、空飛ぶサケの論証は妥当です。すべての魚が飛べてサケが魚なら、サケも飛べるはずです。両方の前提が成り立つのに結論が成り立たない場合はありません。問題は、最初の前提が偽であることです。妥当で、すべての前提が真の論証を健全と呼びます。健全な論証の結論は必ず真です。サケの論証は妥当ですが、健全ではありません。
| 結論が真 | 結論が偽 | |
|---|---|---|
| 妥当 | 可能です（全前提が真なら健全です） | 可能ですが、その場合は前提に偽があります |
| 妥当ではない | 可能です | 可能です |
上の表が排除する組合せは、妥当で、すべての前提が真なのに結論が偽になる場合です。それ以外はすべて起こりえます。特に、妥当でない論証でも、前提と結論がともに真の場合があります。「ソウルは韓国にある。したがって海抜0では水は100 °Cで沸騰する」は前提も結論も真ですが、前提は結論をまったく支えていないので妥当ではありません。結論が真だからといって、よい論証とは限りません。
妥当性は形式から生まれる
多くの論証は、文の内容にかかわらず、その形式によって妥当になります。よく使う形式が2つあります。前件肯定はp → q、p、ゆえにqです。後件否定はp → q、¬q、ゆえに¬pです。似ていても妥当でない形式が2つあり、『スタンフォード哲学百科事典』は形式的誤謬に挙げています。後件肯定はp → q、q、ゆえにpです。前件否定はp → q、¬p、ゆえに¬qです。「バッテリーが切れたら車は始動しない。車が始動しない。だからバッテリーが切れている」は後件肯定です。燃料切れかもしれません。
文字で表した論証を調べるには、各前提と結論の列を持つ真理値表を作り、すべての前提がTで結論がFの反例の行を探します。あれば妥当でなく、なければ妥当です。後件肯定ではpが偽、qが真の行が反例になります。p → qとqは真ですが、結論pは偽です。
| 妥当 | すべての前提が真で結論が偽になる場合がありません |
| 健全 | 妥当で、すべての前提が真です |
| 反例 | 前提が真で結論が偽になる場合 |
| 前件肯定 | p → q、p、ゆえにq（妥当） |
| 後件否定 | p → q、¬q、ゆえに¬p（妥当） |
| 後件肯定 | p → q、q、ゆえにp（妥当でない） |
| 前件否定 | p → q、¬p、ゆえに¬q（妥当でない） |
- 論証が妥当なのは、どの場合ですか？
- 結論が真であるとき
- すべての前提が真で結論が偽になる場合がないとき
- すべての前提が真であるとき
- 「すべての鳥は緑色である。カラスは鳥である。したがってカラスは緑色である」。この論証はどう評価できますか？
- 妥当で健全
- 妥当ですが健全ではありません
- 妥当ではありません
- 健全な論証でも、結論が偽になることがあります。
- 真
- 偽
- 妥当でない論証でも、前提と結論がともに真の場合があります。
- 真
- 偽
- 「雪が降ったなら道路は白い。道路は白くない。だから雪は降らなかった」。どの形式ですか？
- 前件肯定
- 後件否定
- 後件肯定
- 「勉強すれば合格する。合格した。だから勉強した」。どの形式ですか？
- 前件肯定
- 後件肯定
- 前件否定
- 「祝日なら銀行は休みだ。祝日ではない。だから銀行は開いている」。どの形式ですか？
- 前件否定
- 後件否定
- 前件肯定
- 「p → q、q、ゆえにp」の反例になる行はどれですか？
- pがT、qがT
- pがT、qがF
- pがF、qがT
- pがF、qがF
- 完全な真理値表に反例の行がありません。この論証はどう評価できますか？
- 妥当
- 健全
- 妥当ではありません
- 妥当な論証の結論が偽でした。何がいえますか？
- 少なくとも1つの前提が偽です。
- すべての前提が偽です。
- 結局、論証は妥当ではありません。
- 妥当：前提がすべて真で結論が偽になる場合がありません。
- 健全：妥当で、すべての前提が真です。
- 前件肯定と後件否定は妥当ですが、後件肯定と前件否定は妥当ではありません。
- 真理値表では、全前提がTで結論がFの行を探します。
このコースの出典 (9)
- P. D. Magnus, Tim Button, Aaron Thomas-Bolduc, Richard Zach, forall x: Calgary , chapters 1 to 6 on sentences, arguments, validity, soundness, connectives and truth tables (forallx.openlogicproject.org/html/)
- Stanford Encyclopedia of Philosophy, Robin Smith, "Aristotle's Logic" (plato.stanford.edu/entries/aristotle-logic/)
- definition of deduction from Prior Analytics I.2 24b18-20, the three figures and the medieval names Barbara and Celarent
- Aristotle, On Interpretation 17a, E. M. Edghill translation (classics.mit.edu/Aristotle/interpretation.1.1.html)
- "a prayer is a sentence, but is neither true nor false"
- Irving H. Anellis, "Peirce's Truth-functional Analysis and the Origin of Truth Tables" (arxiv.org/abs/1108.2429): Peirce manuscript of 1893, Shosky's 1997 find on a 1912 Russell typescript
- Emil Post, "Introduction to a general theory of elementary propositions", American Journal of Mathematics 43 (1921)
- Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (1921, English 1922)
- 4.31. Everyday example sentences are made up for teaching.
確認日: 2026-10-17