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Terme als Regeln: Muster und Formeln

Ein quadratischer Tisch bietet 4 Plätze. Schiebe n Tische in eine Reihe: 2n + 2 Personen passen daran, bei 20 Tischen also 42.

Tische in einer Reihe

An jeder Seite eines quadratischen Tischs sitzt eine Person, insgesamt 4. Schiebst du zwei zusammen, entfallen die Plätze an den Kontaktseiten; übrig sind 6. Drei Tische bieten 8, vier bieten 10. Pro zusätzlichem Tisch steigt die Tischzahl um 1 und die Platzzahl um 2. „Immer 2 dazu“ ist leicht erkennbar, aber für „Wie viele Plätze bei 20 Tischen?“ langsam, weil du alle Schritte durchgehen müsstest. Ein Term in n, der Tischzahl, antwortet sofort. Die Zeichnung zeigt die ersten drei Anordnungen.

Oben: 1, 2 und 3 Tische in Reihe bieten 4, 6 und 8 Plätze (orange Punkte), einen oben und unten pro Tisch und einen an jedem Ende: 2n + 2. Unten: 1, 2 und 3 Quadrate brauchen 4, 7 und 10 Streichhölzer: eines zum Start, dann 3 pro Quadrat, also 3n + 1.

Sieh dir die Zeichnung von n Tischen an. Jeder Tisch hat oben einen Platz und unten einen, das ergibt 2n, und an den beiden Enden kommt je ein weiterer Platz hinzu, also ist die Gesamtzahl 2n + 2. Prüfe es an den gezählten Fällen: n = 1 ergibt 4, n = 3 ergibt 8. Dann beantworte die Frage: An 20 Tischen sitzen 2 · 20 + 2 = 42 Personen. Der Term lässt sich auch rückwärts verwenden. Damit 30 Personen sitzen können, brauchst du 2n + 2 = 30, also 2n = 28 und n = 14 Tische. Eine als Term geschriebene Regel ist eine Maschine, die ein beliebiges n entgegennimmt und die Antwort für dieses n liefert.

Verschiedene Sichtweisen ergeben gleichwertige Terme

Jemand anderes könnte die Tische anders sehen. Der erste Tisch bietet 4 Plätze, und jeder weitere Tisch bringt 2 dazu, also sind es bei n Tischen 4 + 2(n − 1). Das sieht ganz anders aus als 2n + 2, ist aber derselbe Term: Multipliziere aus, 4 + 2n − 2 = 2n + 2. Dasselbe passiert bei den Streichhölzern in der Abbildung. Eine Person sagt „ein Streichholz zum Anfang, dann 3 pro Quadrat“, das ist 3n + 1. Eine andere sagt „4 für das erste Quadrat, 3 für jedes weitere“, das ist 4 + 3(n − 1), und auch das vereinfacht sich zu 3n + 1. Wenn zwei Personen verschiedene Regeln finden, vereinfacht beide und vergleicht sie. Stimmen sie überein, habt ihr beide das Muster richtig gesehen.

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Zum Drehen ziehen. Zum Zoomen scrollen oder zwei Finger auseinander- oder zusammenziehen.

Spalte A zählt die Tische. Schreibe =2*A2+2 in B2 und fülle nach unten: 4, 6, 8, 10, 12 und 14. Versuch dann =4+2*(A2-1): Die Spalte ändert sich nicht.

Trage die Paare aus der Tabelle in ein Koordinatensystem ein, die Zahl der Tische waagerecht und die Plätze senkrecht, dann liegen die Punkte (1, 4), (2, 6), (3, 8) auf einer Geraden. Das Graphen-Labor zeichnet die Gerade y = 2x + 2. Für die Cafeteria bedeuten nur die Punkte etwas, bei denen x eine ganze Zahl von Tischen ist, also 1 oder mehr, aber die Gerade zeigt das Muster auf einen Blick: Sie steigt bei jedem Schritt von 1 um 2, das ist das „plus 2“, das du am Anfang gesehen hast, und sie würde die senkrechte Achse bei 2 schneiden, den beiden Plätzen an den Enden. Regeln wie diese sind die Tür zu den Funktionen, dem Thema des nächsten Kurses.

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Die Gerade y = 2x + 2. Lies die Tabelle darunter: x = 1 ergibt 4, x = 2 ergibt 6 Plätze. Setze die Steigung auf 3 und den Achsenabschnitt auf 1, um die Streichholzregel 3n + 1 zu zeichnen.

Formeln sind bereits gefundene Regeln

Eine Formel ist dieselbe Idee, bei der die Vorarbeit schon erledigt ist. Der Rechteckumfang ist P = 2L + 2W: zwei Längen und zwei Breiten. Bei L = 8 cm und W = 5 cm gilt P = 16 + 10 = 26 cm. Mit dem Distributivgesetz auch P = 2(L + W), und 2 · 13 = 26 ergibt dasselbe. Strecke, Geschwindigkeit und Zeit verbindet d = rt. Ein Zug mit 60 km pro Stunde fährt in 2.5 Stunden 60 · 2.5 = 150 km. Eine Formel auszuwerten heißt einen Term auswerten: Setze für jeden Buchstaben seinen Wert ein und beachte die Rechenreihenfolge. Prüfe auch die Einheiten vor dem Multiplizieren.

  1. Wie viele Personen passen nach 2n + 2 an 20 Tische in Reihe?
  2. Wie viele Tische in Reihe brauchst du für genau 30 Personen?
  3. Wie viele Streichhölzer brauchst du für 10 Quadrate in Reihe?
  4. Schreibe die Streichholzregel für n Quadrate in Reihe.
  5. Welcher Term ist gleichwertig zu 4 + 2(n − 1)?
    • 2n + 2
    • 2n + 3
    • 6n − 2
    • 2n − 1
  6. Welche Regel gibt die Zahl an Stelle n im Muster 5, 8, 11, 14, …?
    • 3n + 2
    • n + 3
    • 5n
    • 3n + 5
  7. Was ist die Zahl an Stelle 100 im Muster 3n + 2?
  8. Schreibe die Regel für Stelle n in 7, 11, 15, 19, …
  9. Ein Rechteck ist 8 cm lang und 5 cm breit. Berechne P = 2L + 2W.
  10. Ein Zug fährt 60 km pro Stunde für 2.5 Stunden. Nutze d = rt.
  11. Werte 5n − 2 bei n = 6 aus.
Häufige Fehler
  • „Jeder Tisch bietet 4 Plätze, also n Tische 4n.“ Zusammengeschobene Tische verlieren Plätze an den Kontaktseiten. Bei n = 2 gibt 4n zwar 8, aber nur 6 passen. Zähle im Bild nach, bevor du der Regel vertraust.
  • „Die Regel für 5, 8, 11, 14 ist n + 3, weil jede Zahl 3 größer ist als die vorige.“ „3 mehr als zuvor“ beschreibt den Schritt zur nächsten Zahl. n + 3 ergibt aber 4, 5, 6, 7. Eine Regel für Stelle n braucht 3n als Zuwachs pro Schritt plus festen Anteil: 3n + 2.
  • „Bei n = 1 funktioniert die Regel, also stimmt sie.“ Viele falsche Regeln passen einmal: 4n und 2n + 2 ergeben bei n = 1 beide 4. Prüfe mindestens zwei weitere Werte, etwa n = 2 und n = 3.
Hinweis für LehrkräfteMuster ziehen sich durch den gesamten koreanischen nationalen Lehrplan von 2022. In den Grundschulklassen 1 bis 2 finden die Lernenden Regeln in Anordnungen von Gegenständen und Zahlen. In den Klassen 3 bis 4 erklären sie sich verändernde Regeln und schreiben sie als Zahlen oder Terme, mit dem Hinweis, Aufgaben zu vermeiden, die gemischte Rechnungen oder einen Term für das allgemeine Folgenglied verlangen. In den Klassen 5 bis 6 schreiben sie Beziehungen aus einer Tabelle mit Kästchen und Dreiecken, und der Hinweis beschränkt diese auf eine einzige Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division. Eine Regel wie 2n + 2 gehört daher in die Mittelschulstufe, in der Buchstaben, der Wert eines Terms und später der Funktionswert eingeführt werden. Ein starker Unterrichtsschritt ist, die verschiedenen Regeln zu sammeln, die Lernende für dasselbe Muster finden, und sie gemeinsam zu vereinfachen.
Das Wichtigste
  • Eine Regel in n beantwortet jeden Fall sofort: 2n + 2 Plätze für n Tische.
  • Prüfe eine Regel an mindestens drei gezählten Fällen, nicht nur einem.
  • Verschiedene Sichtweisen ergeben gleichwertige Terme: 4 + 2(n − 1) = 2n + 2.
  • Eine Formel ist ein fertiger Term: P = 2L + 2W, d = rt.
Quellen zu diesem Kurs (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

Abgerufen: 2026-10-19