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Expressões como regras: padrões e fórmulas

Uma mesa quadrada acomoda 4 pessoas. Junte n em fila e cabem 2n + 2; portanto, 20 mesas acomodam 42.

Mesas em fila

Uma mesa quadrada acomoda uma pessoa por lado, 4 ao todo. Junte duas e os lados encostados perdem seus lugares: sobram 6. Três mesas acomodam 8; quatro, 10. A quantidade de mesas aumenta em 1 e a de lugares, em 2 a cada vez. É fácil ver esse “somar 2”, mas responder “quantos lugares para 20 mesas?” assim demora, pois seria preciso percorrer todos os passos. Uma expressão em n, a quantidade de mesas, responde de uma vez. A figura abaixo mostra as três primeiras disposições.

Em cima: 1, 2 e 3 mesas quadradas em fila acomodam 4, 6 e 8 pessoas (pontos laranja): uma acima e outra abaixo de cada mesa, mais uma em cada ponta, 2n + 2. Embaixo: 1, 2 e 3 quadrados em fila precisam de 4, 7 e 10 palitos de fósforo: um no início, depois mais 3 por quadrado, 3n + 1.

Observe o desenho de n mesas. Cada mesa tem um lugar acima e outro abaixo, dando 2n; cada ponta acrescenta mais um, totalizando 2n + 2. Confira: n = 1 dá 4, n = 3 dá 8. Agora responda: 20 mesas acomodam 2 · 20 + 2 = 42 pessoas. A expressão também funciona ao contrário. Para 30 pessoas, você precisa de 2n + 2 = 30, então 2n = 28 e n = 14 mesas. Uma regra escrita como expressão funciona como máquina: recebe qualquer n e devolve a resposta para ele.

Jeitos diferentes de observar dão expressões equivalentes

Outra pessoa pode ver as mesas de outro jeito. A primeira acomoda 4 e cada nova mesa acrescenta 2; com n mesas, são 4 + 2(n − 1). Parece diferente de 2n + 2, mas é a mesma expressão: desenvolva, 4 + 2n − 2 = 2n + 2. Com os palitos acontece igual. Alguém diz “um no início, depois 3 por quadrado”: 3n + 1. Outra pessoa diz “4 no primeiro e 3 em cada seguinte”: 4 + 3(n − 1), que também vira 3n + 1. Quando duas pessoas encontrarem regras diferentes, simplifiquem e comparem. Se coincidirem, ambas perceberam o padrão corretamente.

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A coluna A conta as mesas. Escreva =2*A2+2 em B2 e preencha para baixo: 4, 6, 8, 10, 12 e 14. Depois tente =4+2*(A2-1): a coluna não muda.

Coloque os pares da tabela numa malha, mesas na horizontal e lugares na vertical: (1, 4), (2, 6), (3, 8) ficam numa reta. No laboratório de gráficos, você vê y = 2x + 2. Para o refeitório, só fazem sentido pontos em que x é uma quantidade inteira de mesas, 1 ou mais. A reta, porém, mostra o padrão num relance: sobe 2 a cada passo de 1, o “somar 2” do início, e cruzaria o eixo vertical em 2, os lugares das pontas. Regras assim levam às funções, tema do próximo curso.

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A reta y = 2x + 2. Leia a pequena tabela abaixo: x = 1 dá 4 e x = 2 dá 6, as quantidades de lugares. Mude a inclinação para 3 e o coeficiente linear para 1 para desenhar a regra dos palitos, 3n + 1.

Fórmulas são regras que alguém já encontrou

Uma fórmula é a mesma ideia com o trabalho já feito. O perímetro de um retângulo é P = 2L + 2W: dois comprimentos e duas larguras. Com L = 8 cm e W = 5 cm, P = 16 + 10 = 26 cm. Pela distributiva, também é P = 2(L + W), e 2 · 13 = 26 dá o mesmo. Distância, rapidez e tempo se relacionam por d = rt. Um trem a 60 km por hora durante 2.5 horas percorre 60 · 2.5 = 150 km. Calcular uma fórmula é calcular uma expressão: substitua cada letra e siga a ordem das operações. Unidades acompanham os números; confira se são compatíveis antes de multiplicar.

  1. Usando 2n + 2, quantas pessoas cabem em 20 mesas em fila?
  2. Quantas mesas em fila são necessárias para acomodar exatamente 30 pessoas?
  3. Quantos palitos de fósforo formam 10 quadrados em fila?
  4. Escreva a regra dos palitos para n quadrados em fila.
  5. Qual expressão é igual a 4 + 2(n − 1)?
    • 2n + 2
    • 2n + 3
    • 6n − 2
    • 2n − 1
  6. Qual regra dá o número na posição n do padrão 5, 8, 11, 14, …?
    • 3n + 2
    • n + 3
    • 5n
    • 3n + 5
  7. Qual é o número na posição 100 do padrão 3n + 2?
  8. Escreva a regra do número na posição n de 7, 11, 15, 19, …
  9. Um retângulo tem comprimento 8 cm e largura 5 cm. Encontre P = 2L + 2W.
  10. Um trem viaja a 60 km por hora durante 2.5 horas. Use d = rt.
  11. Calcule a regra 5n − 2 com n = 6.
Erros comuns
  • “Cada mesa acomoda 4, então n mesas acomodam 4n.” Mesas unidas perdem lugares onde se encostam. Com n = 2, 4n dá 8, mas só cabem 6 pessoas. Conte num desenho antes de confiar na regra.
  • “A regra de 5, 8, 11, 14 é n + 3 porque cada número é 3 a mais que o anterior.” “3 a mais que o anterior” é uma regra de passo, e n + 3 dá 4, 5, 6, 7. A regra da posição n precisa de 3n, o crescimento por passo, mais uma parte fixa: 3n + 2.
  • “A regra funciona para n = 1, então está certa.” Muitas regras erradas acertam um caso: 4n e 2n + 2 dão 4 com n = 1. Confira pelo menos mais dois valores, como n = 2 e n = 3.
Nota do professorPadrões atravessam todo o currículo nacional coreano de 2022. Do 1º ao 2º ano da escola primária, buscam-se regras em disposições de objetos e números. Do 3º ao 4º, explicam-se regras de mudança e escrevem-se com números ou expressões, evitando cálculos mistos ou expressão do termo geral. Do 5º ao 6º, escrevem-se relações de tabelas com quadrinhos e triângulos, limitadas a uma só adição, subtração, multiplicação ou divisão. Assim, uma regra como 2n + 2 cabe nos anos finais, com letras, valor de uma expressão e, depois, valor de função. Uma boa atividade é reunir as várias regras encontradas para o mesmo padrão e simplificá-las em conjunto.
Pontos-chave
  • Uma regra em n responde a qualquer caso de uma vez: 2n + 2 lugares para n mesas.
  • Confira uma regra com pelo menos três casos contados, não só um.
  • Jeitos diferentes de ver um padrão dão expressões equivalentes: 4 + 2(n − 1) = 2n + 2.
  • Uma fórmula é uma expressão pronta: P = 2L + 2W, d = rt.
Fontes deste curso (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

Data de verificação: 2026-10-19