edubun
Español
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Inicio›Álgebra›Expresiones

Expresiones como reglas: patrones y fórmulas

En una mesa cuadrada caben 4 personas. Si juntas n en fila, caben 2n + 2; por tanto, en 20 mesas caben 42.

Mesas en fila

En una mesa cuadrada se sienta una persona por lado, 4 en total. Junta dos y pierdes los asientos de los lados que se tocan: quedan 6. En tres mesas caben 8; en cuatro, 10. Cada vez hay 1 mesa más y 2 asientos más. Ese «sumar 2» es fácil de ver, pero lento para responder «¿cuántos asientos hay con 20 mesas?», porque tendrías que recorrer todos los pasos. Una expresión con n, la cantidad de mesas, responde de una vez. En la figura de abajo ves las tres primeras disposiciones.

Arriba: 1, 2 y 3 mesas cuadradas en fila tienen asientos para 4, 6 y 8 personas (puntos naranjas): uno arriba y otro abajo de cada mesa, más uno en cada extremo, 2n + 2. Abajo: 1, 2 y 3 cuadrados en fila necesitan 4, 7 y 10 cerillos: uno al principio y luego 3 más por cuadrado, 3n + 1.

Observa el dibujo de n mesas. Cada una tiene un asiento arriba y otro abajo, lo que da 2n, y los dos extremos agregan uno cada uno: en total, 2n + 2. Comprueba los recuentos: n = 1 da 4 y n = 3 da 8. Ahora responde: en 20 mesas caben 2 · 20 + 2 = 42 personas. También puedes usar la expresión al revés. Para sentar a 30 personas necesitas 2n + 2 = 30, así que 2n = 28 y n = 14 mesas. Una regla escrita como expresión funciona como una máquina: recibe cualquier n y da la respuesta correspondiente.

Distintas formas de observar dan expresiones equivalentes

Otra persona puede ver las mesas de otro modo. La primera tiene 4 asientos y cada mesa adicional agrega 2, así que con n mesas hay 4 + 2(n − 1). No se parece a 2n + 2, pero es la misma expresión: desarrolla, 4 + 2n − 2 = 2n + 2. Ocurre igual con los cerillos. Alguien dice «uno al principio y luego 3 por cuadrado», que es 3n + 1. Otra persona dice «4 para el primero y 3 para cada siguiente», que es 4 + 3(n − 1), y también se simplifica a 3n + 1. Cuando dos personas encuentren reglas distintas, simplifica ambas y compara. Si coinciden, las dos interpretaron bien el patrón.

Cargando

Arrastra para girar. Usa la rueda de desplazamiento o separa y junta dos dedos para cambiar el zoom.

En la columna A está la cantidad de mesas. Escribe =2*A2+2 en B2 y rellena hacia abajo para obtener 4, 6, 8, 10, 12 y 14. Prueba luego =4+2*(A2-1): la columna no cambia.

Coloca los pares de la tabla en una cuadrícula, con mesas en horizontal y asientos en vertical: los puntos (1, 4), (2, 6), (3, 8) están sobre una recta. En el laboratorio de gráficas ves y = 2x + 2. Para el comedor solo tienen sentido los puntos donde x es una cantidad entera de mesas, 1 o más. Pero la recta permite reconocer el patrón: sube 2 por cada paso de 1, el «sumar 2» del inicio, y cortaría el eje vertical en 2, los asientos de los extremos. Estas reglas son la entrada a las funciones, que estudiarás en el próximo curso.

Cargando

Arrastra para girar. Usa la rueda de desplazamiento o separa y junta dos dedos para cambiar el zoom.

La recta y = 2x + 2. Lee la tabla pequeña bajo la gráfica: con x = 1 da 4 y con x = 2 da 6, las cantidades de asientos. Cambia la pendiente a 3 y la ordenada al origen a 1 para dibujar la regla de los cerillos, 3n + 1.

Las fórmulas son reglas que alguien ya encontró

Una fórmula es la misma idea, pero con el trabajo ya hecho. El perímetro de un rectángulo es P = 2L + 2W: dos largos y dos anchos. Con L = 8 cm y W = 5 cm, P = 16 + 10 = 26 cm. Por la propiedad distributiva también es P = 2(L + W), y 2 · 13 = 26 da lo mismo. Distancia, rapidez y tiempo se relacionan mediante d = rt. Un tren que viaja a 60 km por hora durante 2.5 horas recorre 60 · 2.5 = 150 km. Evaluar una fórmula es evaluar una expresión: sustituye cada letra por su valor y sigue la jerarquía de operaciones. Las unidades acompañan a los números; comprueba que coincidan antes de multiplicar.

  1. Con 2n + 2, ¿cuántas personas pueden sentarse en 20 mesas en fila?
  2. ¿Cuántas mesas en fila hacen falta para sentar exactamente a 30 personas?
  3. ¿Cuántos cerillos se necesitan para formar 10 cuadrados en fila?
  4. Escribe la regla de los cerillos para n cuadrados en fila.
  5. ¿Qué expresión es igual a 4 + 2(n − 1)?
    • 2n + 2
    • 2n + 3
    • 6n − 2
    • 2n − 1
  6. ¿Qué regla da el término n del patrón 5, 8, 11, 14, …?
    • 3n + 2
    • n + 3
    • 5n
    • 3n + 5
  7. ¿Cuál es el término 100 del patrón 3n + 2?
  8. Escribe la regla del término n de 7, 11, 15, 19, …
  9. Un rectángulo mide 8 cm de largo y 5 cm de ancho. Halla P = 2L + 2W.
  10. Un tren viaja a 60 km por hora durante 2.5 horas. Usa d = rt.
  11. Evalúa la regla 5n − 2 con n = 6.
Errores frecuentes
  • «En cada mesa caben 4, así que en n mesas caben 4n». Al juntar las mesas se pierden los asientos de los lados que se tocan. Con n = 2, la regla 4n da 8, pero solo caben 6 personas. Cuenta en un dibujo antes de confiar en una regla.
  • «La regla de 5, 8, 11, 14 es n + 3 porque cada número es 3 más que el anterior». «3 más que el anterior» describe el paso de un término al siguiente, y n + 3 da 4, 5, 6, 7. La regla del término n necesita 3n, el crecimiento por paso, más una parte fija: 3n + 2.
  • «La regla funciona con n = 1, así que es correcta». Muchas reglas equivocadas sirven para un caso: tanto 4n como 2n + 2 dan 4 con n = 1. Comprueba al menos dos valores más, como n = 2 y n = 3.
Nota para docentesLos patrones aparecen a lo largo de todo el currículo nacional coreano de 2022. En los grados 1 y 2 de primaria se buscan reglas en disposiciones de objetos y números. En los grados 3 y 4 se explican reglas de cambio y se escriben con números o expresiones, evitando problemas con cálculos combinados o una expresión del término general. En los grados 5 y 6 se escriben relaciones de una tabla con casillas y triángulos; las notas las limitan a una sola suma, resta, multiplicación o división. Por eso una regla como 2n + 2 corresponde a secundaria, cuando se introducen las letras, el valor de una expresión y después el valor de una función. Una buena actividad es reunir las distintas reglas que encuentra el alumnado para un mismo patrón y simplificarlas en conjunto.
Ideas clave
  • Una regla escrita con n responde a cualquier caso de una vez: 2n + 2 asientos para n mesas.
  • Comprueba una regla con al menos tres casos contados, no uno.
  • Distintas formas de ver un patrón dan expresiones equivalentes: 4 + 2(n − 1) = 2n + 2.
  • Una fórmula es una expresión ya preparada: P = 2L + 2W, d = rt.
Fuentes de este curso (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

Fecha de consulta: 2026-10-19