edubun
Nederlands
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Home›Algebra›Uitdrukkingen

Uitdrukkingen als regels: patronen en formules

Eén vierkante tafel heeft 4 plaatsen. Schuif je n tafels op een rij, dan passen er 2n + 2 mensen, dus aan 20 tafels zitten er 42.

Tafels op een rij

Aan een vierkante tafel kan aan elke kant één persoon zitten, dus 4 in totaal. Schuif twee tafels tegen elkaar en aan de rakende zijden verdwijnen de zitplaatsen. Er blijven er 6 over. Drie tafels bieden plaats aan 8 mensen, vier aan 10. Het aantal tafels stijgt telkens met 1 en het aantal zitplaatsen met 2. Dat ‘tel er 2 bij op’ is gemakkelijk te zien, maar beantwoordt een vraag als ‘hoeveel zitplaatsen bij 20 tafels?’ maar langzaam: je moet elke stap doorlopen. Een uitdrukking in n, het aantal tafels, geeft het antwoord in één keer. De afbeelding hieronder toont de eerste drie opstellingen.

Boven: 1, 2 en 3 vierkante tafels op een rij bieden plaats aan 4, 6 en 8 mensen (oranje stippen): één boven en één onder elke tafel, plus één aan elk uiteinde, 2n + 2. Onder: 1, 2 en 3 vierkanten op een rij vragen 4, 7 en 10 lucifers: één lucifer om te beginnen, daarna 3 per vierkant, 3n + 1.

Kijk naar de tekening van n tafels. Elke tafel heeft één zitplaats erboven en één eronder, samen 2n. Aan de twee uiteinden komt er elk nog één bij, dus het totaal is 2n + 2. Controleer met de aantallen: n = 1 geeft 4 en n = 3 geeft 8. Beantwoord daarna de vraag: 20 tafels bieden plaats aan 2 · 20 + 2 = 42 mensen. De uitdrukking werkt ook achterstevoren. Voor 30 mensen heb je 2n + 2 = 30 nodig, dus 2n = 28 en n = 14 tafels. Een regel in de vorm van een uitdrukking werkt als een machine die elke n aanneemt en het antwoord voor die n geeft.

Andere zienswijzen geven gelijkwaardige uitdrukkingen

Iemand anders kan anders naar de tafels kijken. De eerste tafel biedt 4 zitplaatsen en elke extra tafel voegt er 2 toe. Bij n tafels is het aantal dus 4 + 2(n − 1). Dat lijkt helemaal niet op 2n + 2, maar het is dezelfde uitdrukking. Werk uit: 4 + 2n − 2 = 2n + 2. Hetzelfde gebeurt met de lucifers in de afbeelding. De één zegt ‘één lucifer om te beginnen, daarna 3 per vierkant’: dat is 3n + 1. Een ander zegt ‘4 voor het eerste vierkant, 3 voor elk volgend vierkant’: dat is 4 + 3(n − 1), en ook dat vereenvoudigt tot 3n + 1. Als twee mensen verschillende regels vinden, vereenvoudig ze dan allebei en vergelijk ze. Als ze overeenkomen, hebben jullie het patroon allebei goed gezien.

Laden

Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.

Kolom A telt de tafels. Schrijf =2*A2+2 in B2 en vul de formule naar beneden door om 4, 6, 8, 10, 12 en 14 te krijgen. Probeer daarna in plaats daarvan =4+2*(A2-1): de kolom verandert niet.

Zet de getallenparen uit de tabel in een assenstelsel, met het aantal tafels horizontaal en het aantal zitplaatsen verticaal. De punten (1, 4), (2, 6) en (3, 8) liggen op één rechte lijn. In de grafiekpracticum zie je de lijn y = 2x + 2. Alleen punten waarbij x een geheel aantal tafels van 1 of meer is, hebben betekenis voor de kantine. Toch maakt de lijn het patroon meteen zichtbaar: ze stijgt 2 bij elke stap van 1. Dat is het ‘tel er 2 bij op’ van het begin. Ze zou de verticale as bij 2 snijden, de twee zitplaatsen aan de uiteinden. Zulke regels vormen de toegang tot functies, het onderwerp van de volgende cursus.

Laden

Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.

De lijn y = 2x + 2. Lees de kleine tabel onder de grafiek: bij x = 1 is de waarde 4 en bij x = 2 is ze 6, de aantallen zitplaatsen. Zet Richtingscoëfficiënt op 3 en Snijpunt y-as op 1 om in plaats daarvan de luciferregel 3n + 1 te tekenen.

Formules zijn regels die al iemand gevonden heeft

Een formule is hetzelfde idee, maar het denkwerk is al gedaan. De omtrek van een rechthoek is P = 2L + 2W: twee lengtes en twee breedtes. Bij L = 8 cm en W = 5 cm is P = 16 + 10 = 26 cm. Door distributiviteit is ook P = 2(L + W), en 2 · 13 = 26 geeft hetzelfde antwoord. Afstand, snelheid en tijd hangen samen via d = rt. Een trein die 2.5 uur lang 60 km per uur rijdt, legt 60 · 2.5 = 150 km af. Een formule uitrekenen is een uitdrukking uitrekenen: vervang elke letter door haar waarde en volg de rekenvolgorde. Eenheden horen bij de getallen, dus controleer vóór het vermenigvuldigen of ze bij elkaar passen.

  1. Hoeveel mensen kunnen met 2n + 2 aan 20 tafels op een rij zitten?
  2. Hoeveel tafels op een rij zijn nodig voor precies 30 mensen?
  3. Hoeveel lucifers heb je nodig voor 10 vierkanten op een rij?
  4. Schrijf de luciferregel voor n vierkanten op een rij.
  5. Welke expressie is gelijk aan 4 + 2(n − 1)?
    • 2n + 2
    • 2n + 3
    • 6n − 2
    • 2n − 1
  6. Welke regel hoort bij het n-de getal van het patroon 5, 8, 11, 14, …?
    • 3n + 2
    • n + 3
    • 5n
    • 3n + 5
  7. Wat is het 100ste getal in het patroon 3n + 2?
  8. Schrijf de regel voor het n-de getal van 7, 11, 15, 19, …
  9. Een rechthoek is 8 cm lang en 5 cm breed. Bereken P = 2L + 2W.
  10. Een trein rijdt 60 km per uur, 2.5 uur lang. Gebruik d = rt.
  11. Bereken 5n − 2 bij n = 6.
Veelgemaakte fouten
  • ‘Elke tafel heeft 4 plaatsen, dus n tafels 4n.’ Tafels die tegen elkaar staan, verliezen de plaatsen waar ze elkaar raken. Bij n = 2 geeft de regel 4n 8, maar er passen er maar 6. Tel de plaatsen op een tekening voordat je een regel vertrouwt.
  • ‘De regel bij 5, 8, 11, 14 is n + 3, omdat elk getal 3 groter is dan het vorige.’ ‘3 meer dan het vorige getal’ is een stapregel, en n + 3 geeft 4, 5, 6, 7. De regel voor het n-de getal heeft 3n nodig, de groei per stap, plus een vast deel: 3n + 2.
  • ‘De regel werkt bij n = 1, dus hij is juist.’ Veel foute regels passen bij één geval: 4n en 2n + 2 geven allebei 4 bij n = 1. Controleer minstens twee extra waarden, zoals n = 2 en n = 3.
Voor de docentPatronen komen in het hele Koreaanse nationale curriculum van 2022 terug. In leerjaren 1 tot 2 van de basisschool vinden leerlingen regels in rangschikkingen van voorwerpen en getallen. In leerjaren 3 tot 4 leggen ze veranderingsregels uit en schrijven ze die als getallen of uitdrukkingen. Daarbij staat de opmerking om problemen te vermijden waarvoor gemengde berekeningen of een uitdrukking voor de algemene term nodig zijn. In leerjaren 5 tot 6 schrijven ze verbanden uit een tabel met vakjes en driehoeken. De toelichting beperkt dit tot één optelling, aftrekking, vermenigvuldiging of deling. Een regel zoals 2n + 2 hoort dus bij de onderbouw van het voortgezet onderwijs, waar letters, de waarde van een uitdrukking en later de functiewaarde aan bod komen. Een sterke lesaanpak is de verschillende regels die leerlingen voor hetzelfde patroon vinden te verzamelen en samen te vereenvoudigen.
Belangrijkste punten
  • Een regel in n beantwoordt elk geval meteen: 2n + 2 plaatsen voor n tafels.
  • Controleer een regel aan minstens drie getelde gevallen, niet aan één.
  • Verschillende manieren om een patroon te zien geven gelijkwaardige uitdrukkingen: 4 + 2(n − 1) = 2n + 2.
  • Een formule is een kant-en-klare uitdrukking: P = 2L + 2W, d = rt.
Bronnen van deze cursus (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

Geraadpleegd: 2026-10-19