規則や公式としての文字式
正方形の机1つには4人が座れます。n個を1列に並べると2n + 2人が座れるので、20個なら42人です。
机を一列に並べる
正方形の机は各辺に1人ずつ、全部で4人が座れます。2つの机をくっつけると、接する辺の席がなくなって6席です。3つなら8席、4つなら10席です。毎回、机が1つ増えると席は2つ増えます。「2を足す」という規則はすぐ分かりますが、「机20個なら何席か」という問いに答えるには、すべての段階をたどるので時間がかかります。机の数nを使った式なら、一度で答えられます。下の図は最初の3通りの並べ方を示しています。
n個の机の図を見ましょう。各机の上と下に1席ずつあるので2n席、さらに両端に1席ずつ加わり、合計は2n + 2です。実際の数で確認すると、n = 1では4席、n = 3では8席です。では問いに答えましょう。机20個なら2 · 20 + 2 = 42人が座れます。この式は逆向きにも使えます。30人が座るには2n + 2 = 30なので、2n = 28、n = 14個の机が必要です。式で書いた規則は、任意のnを受け取り、そのnに対する答えを返す機械のようなものです。
違う見方から等しい式
別の人は、机を違う見方で数えるかもしれません。最初の机が4席で、追加の机ごとに2席増えるので、n個では4 + 2(n − 1)です。2n + 2とはまったく違って見えても、展開すると4 + 2n − 2 = 2n + 2となり、同じ式です。図のマッチ棒でも同じことが起こります。「最初に1本、その後は正方形ごとに3本」と考えれば3n + 1です。「最初の正方形は4本、その後は1つごとに3本」と考えれば4 + 3(n − 1)で、これも整理すると3n + 1です。2人が違う規則を見つけたら、両方を整理して比べましょう。一致すれば、どちらも規則性を正しく捉えています。
ドラッグで回転、スクロールまたはピンチで拡大・縮小。
表の数の組を、横軸を机の数、縦軸を席の数とする座標平面に描きます。すると(1, 4)、(2, 6)、(3, 8)は一直線上にあります。グラフの実験室はy = 2x + 2の直線を描きます。食堂で意味を持つのは、xが1以上の整数個の机を表す点だけです。しかし直線を見ると、横に1進むたびに縦に2上がる規則が一目で分かります。これは最初に見た「2を足す」規則です。また、直線は縦軸の2で交わるはずで、これは両端の2席に対応します。このような規則は、次のコースで学ぶ関数への入り口です。
ドラッグで回転、スクロールまたはピンチで拡大・縮小。
公式は、すでに見つかった規則
公式は、同じ考え方で、計算がすでに済んでいるものです。長方形の周の長さはP = 2L + 2Wで、長さ2つ分と幅2つ分です。L = 8 cm、W = 5 cmなら、P = 16 + 10 = 26 cmです。分配法則により、P = 2(L + W)とも書け、2 · 13 = 26で同じ答えになります。道のり、速さ、時間はd = rtで結ばれます。時速60 kmの電車が2.5時間走ると、60 · 2.5 = 150 km進みます。公式の値を求めることは、式の値を求めることと同じです。それぞれの文字を値に置き換え、計算順序に従います。単位は数と一緒に動くので、掛ける前に単位が合っているか確かめましょう。
- 2n + 2を使うと、1列に並べた20個の机には何人が座れますか？
- ちょうど30人が座るには、1列に何個の机が必要ですか？
- 正方形を1列に10個並べるには、マッチ棒が何本必要ですか？
- 正方形をn個1列に並べるときのマッチ棒の規則を書きましょう。
- 4 + 2(n − 1)に等しい式はどれですか？
- 2n + 2
- 2n + 3
- 6n − 2
- 2n − 1
- 5、8、11、14、…という並びの、n番目の数の規則はどれですか？
- 3n + 2
- n + 3
- 5n
- 3n + 5
- 3n + 2という規則の100番目の数は？
- 7、11、15、19、…のn番目の数の規則を書きましょう。
- 長さ8 cm、幅5 cmの長方形です。P = 2L + 2Wを求めましょう。
- 時速60 kmで2.5時間進む電車があります。d = rtを使いましょう。
- n = 6のとき、規則5n − 2の値は？
- 「一つ4席なのでn個で4n席です」 つながった机は、接する部分の席がなくなります。n = 2のとき規則4nは8ですが、実際に座れるのは6人だけです。規則を信じる前に、図で数えましょう。
- 「各数が前より3大きいので、5、8、11、14の規則はn + 3です」 「前の数より3大きい」は次の数を求める規則です。n + 3では4、5、6、7になります。n番目の数の規則には、1歩ごとの増え方3nに決まった部分を加えた3n + 2が必要です。
- 「n = 1で合うので正しいです」 1つの場合にだけ合う誤った規則はたくさんあります。4nも2n + 2もn = 1のとき4です。n = 2とn = 3など、少なくともあと2つの値で確かめましょう。
- nで書いた規則なら、どの場合の答えも一度に出ます：n個の机には2n + 2席です。
- 規則は、1つではなく、数えた少なくとも3つの場合で確かめます。
- パターンの見方が違っても等価な式になります：4 + 2(n − 1) = 2n + 2。
- 公式は出来上がっている式です：P = 2L + 2W、d = rt。
このコースの出典 (10)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
- Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
- 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
- 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
- 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
- OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
- 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
- Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
- History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
- "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).
確認日: 2026-10-19