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Accueil›Algèbre›Expressions

Expressions comme règles : motifs et formules

Une table carrée accueille 4 personnes. Aligne n tables et 2n + 2 personnes peuvent s'asseoir : 20 tables en accueillent 42.

Des tables en file

Une table carrée accueille une personne par côté, 4 au total. Colle deux tables : les côtés en contact perdent leurs places, il en reste 6. Trois tables donnent 8 places, quatre en donnent 10. Chaque nouvelle table ajoute 1 au nombre de tables et 2 aux places. Ce « ajouter 2 » se voit facilement, mais répond lentement à « combien de places pour 20 tables ? » : il faudrait passer par chaque étape. Une expression en n, nombre de tables, répond d'un coup. La figure montre les trois premières dispositions.

En haut : 1, 2 et 3 tables alignées accueillent 4, 6 et 8 personnes (points orange), une au-dessus et une au-dessous de chaque table plus une à chaque extrémité, soit 2n + 2. En bas : 1, 2 et 3 carrés alignés utilisent 4, 7 et 10 allumettes : une au départ puis 3 par carré, soit 3n + 1.

Observe n tables : chacune a une place en haut et en bas, soit 2n ; les deux extrémités ajoutent une place chacune, donc 2n + 2. Vérifie les comptes : n = 1 donne 4, n = 3 donne 8. Puis réponds : 20 tables accueillent 2 · 20 + 2 = 42 personnes. L'expression fonctionne à l'envers : pour 30 personnes, 2n + 2 = 30, donc 2n = 28 et n = 14 tables. Une règle exprimée en n fonctionne comme une machine : elle reçoit n et fournit la réponse correspondante.

Des regards différents donnent des expressions équivalentes

Quelqu'un d'autre peut voir les tables autrement. La première table accueille 4 personnes et chaque table supplémentaire en ajoute 2 ; avec n tables, le nombre est donc 4 + 2(n − 1). Cela ne ressemble en rien à 2n + 2, et pourtant c'est la même expression : développe, 4 + 2n − 2 = 2n + 2. La même chose se produit avec les allumettes de la figure. Une personne dit « une allumette au départ, puis 3 par carré », ce qui donne 3n + 1. Une autre dit « 4 pour le premier carré, 3 pour chacun des suivants », ce qui donne 4 + 3(n − 1), qui se simplifie aussi en 3n + 1. Quand deux personnes trouvent des règles différentes, simplifie les deux et compare. Si elles coïncident, vous avez tous les deux bien vu le motif.

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A compte les tables. Saisis =2*A2+2 en B2 et recopie pour obtenir 4, 6, 8, 10, 12 et 14. Essaie ensuite =4+2*(A2-1) : la colonne ne change pas.

Place les couples du tableau dans un repère, avec le nombre de tables en abscisse et le nombre de places en ordonnée : les points (1, 4), (2, 6), (3, 8) sont alignés sur une même droite. Le laboratoire de graphiques trace la droite y = 2x + 2. Seuls les points où x est un nombre entier de tables, 1 ou plus, ont un sens pour le réfectoire, mais la droite montre le motif d'un coup d'œil : elle monte de 2 pour chaque pas de 1, ce qui est le « ajouter 2 » vu au début, et elle couperait l'axe vertical en 2, soit les deux places des extrémités. Des règles comme celle-ci ouvrent la porte aux fonctions, sujet du cours suivant.

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La droite y = 2x + 2. Lis le tableau sous le graphique : x = 1 donne 4 et x = 2 donne 6, les nombres de places. Mets la pente à 3 et l'ordonnée à l'origine à 1 pour tracer la règle des allumettes, 3n + 1.

Les formules sont des règles déjà trouvées

Une formule reprend cette idée avec le travail déjà fait. Le périmètre d'un rectangle est P = 2L + 2W : deux longueurs et deux largeurs. Avec L = 8 cm et W = 5 cm, P = 16 + 10 = 26 cm. Par distributivité, P = 2(L + W) aussi ; 2 · 13 = 26 donne le même résultat. Distance, vitesse et temps sont reliés par d = rt. Un train à 60 km par heure pendant 2.5 heures parcourt 60 · 2.5 = 150 km. Évaluer une formule revient à évaluer une expression : remplace les lettres et respecte les priorités. Les unités accompagnent les nombres ; vérifie leur compatibilité avant de multiplier.

  1. Avec 2n + 2, combien de personnes peuvent s'asseoir à 20 tables alignées ?
  2. Combien de tables alignées faut-il pour exactement 30 personnes ?
  3. Combien d'allumettes faut-il pour 10 carrés alignés ?
  4. Écris la règle des allumettes pour n carrés alignés.
  5. Quelle expression égale 4 + 2(n − 1) ?
    • 2n + 2
    • 2n + 3
    • 6n − 2
    • 2n − 1
  6. Quelle règle donne le terme de rang n dans 5, 8, 11, 14, … ?
    • 3n + 2
    • n + 3
    • 5n
    • 3n + 5
  7. Quel est le terme de rang 100 dans 3n + 2 ?
  8. Écris la règle du terme de rang n de 7, 11, 15, 19, …
  9. Un rectangle a une longueur de 8 cm et une largeur de 5 cm. Trouve P = 2L + 2W.
  10. Un train roule à 60 km par heure pendant 2.5 heures. Utilise d = rt.
  11. Évalue la règle 5n − 2 pour n = 6.
Erreurs fréquentes
  • « Chaque table accueille 4 personnes, donc n tables en accueillent 4n. » Les tables accolées perdent les places de contact. Pour n = 2, 4n donne 8, mais seules 6 personnes tiennent. Compte sur un dessin avant de croire la règle.
  • « La règle de 5, 8, 11, 14 est n + 3, car chaque nombre dépasse le précédent de 3. » « 3 de plus que le précédent » décrit le passage entre termes ; n + 3 donne 4, 5, 6, 7. La règle du rang n demande 3n, la progression par étape, plus une partie fixe : 3n + 2.
  • « La règle fonctionne pour n = 1, donc elle est juste. » Beaucoup de mauvaises règles conviennent à un cas : 4n et 2n + 2 donnent 4 pour n = 1. Vérifie au moins deux autres valeurs, comme n = 2 et n = 3.
Note du professeurLes motifs traversent tout le programme national coréen de 2022. En 1re et 2e années du primaire, on cherche des règles dans des dispositions d'objets et de nombres. En 3e et 4e, on explique les changements et les écrit en nombres ou expressions, sans calculs combinés ni formule du terme général. En 5e et 6e, on traduit des tableaux avec cases et triangles, limités à une seule addition, soustraction, multiplication ou division. Une règle comme 2n + 2 relève donc du collège, avec lettres, valeur d'expression puis valeur de fonction. Une bonne activité consiste à réunir les règles trouvées pour un même motif et à les simplifier ensemble.
L'essentiel
  • Une règle en n répond directement à tout cas : 2n + 2 places pour n tables.
  • Vérifie une règle sur au moins trois cas comptés, pas un seul.
  • Différents regards sur un motif donnent des expressions équivalentes : 4 + 2(n − 1) = 2n + 2.
  • Une formule est une expression prête à l'emploi : P = 2L + 2W, d = rt.
Sources de ce cours (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

Consulté le: 2026-10-19