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Espressioni come regole: successioni e formule

Un tavolo quadrato ha 4 posti. Uniscine n in fila: ci stanno 2n + 2 persone, quindi 20 tavoli offrono 42 posti.

Tavoli in fila

Un tavolo quadrato ha un posto per ogni lato, 4 in tutto. Se ne unisci due, i lati che si toccano perdono i posti e ne restano 6. Tre tavoli hanno 8 posti, quattro ne hanno 10. Ogni volta il numero dei tavoli aumenta di 1 e i posti aumentano di 2. Quell'«aggiungi 2» è facile da vedere, ma è un modo lento di rispondere a una domanda come «quanti posti ci sono con 20 tavoli?», perché dovresti ripercorrere ogni passaggio. Un'espressione in n, il numero dei tavoli, risponde in un colpo solo. La figura qui sotto mostra le prime tre disposizioni.

Sopra: 1, 2, 3 tavoli quadrati in fila offrono 4, 6, 8 posti (punti arancioni): uno sopra e sotto ciascuno più uno alle estremità, 2n + 2. Sotto: 1, 2, 3 quadrati richiedono 4, 7, 10 fiammiferi: uno iniziale più 3 per quadrato, 3n + 1.

Guarda il disegno di n tavoli. Ogni tavolo ha un posto sopra e uno sotto, il che dà 2n, e le due estremità ne aggiungono uno ciascuna, quindi il totale è 2n + 2. Controlla con i conteggi: n = 1 dà 4, n = 3 dà 8. Poi rispondi alla domanda: 20 tavoli ospitano 2 · 20 + 2 = 42 persone. L'espressione funziona anche al contrario. Per far sedere 30 persone serve 2n + 2 = 30, quindi 2n = 28 e n = 14 tavoli. Una regola scritta come espressione è una macchina che prende qualsiasi n e restituisce la risposta per quell'n.

Modi diversi di vedere, espressioni equivalenti

Qualcun altro potrebbe vedere i tavoli in modo diverso. Il primo tavolo offre 4 posti e ogni tavolo aggiuntivo ne aggiunge 2, quindi con n tavoli il conteggio è 4 + 2(n − 1). Non somiglia affatto a 2n + 2, eppure è la stessa espressione: sviluppa, 4 + 2n − 2 = 2n + 2. La stessa cosa succede con i fiammiferi nella figura. Una persona dice «un fiammifero per cominciare, poi 3 per quadrato», cioè 3n + 1. Un'altra dice «4 per il primo quadrato, 3 per ogni successivo», cioè 4 + 3(n − 1), che si semplifica anch'essa in 3n + 1. Quando due persone trovano regole diverse, semplifica entrambe e confrontale. Se coincidono, avete riconosciuto correttamente la regolarità entrambi.

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La colonna A conta i tavoli. Scrivi =2*A2+2 in B2 e riempi in basso la formula per ottenere 4, 6, 8, 10, 12 e 14. Poi prova invece =4+2*(A2-1): la colonna non cambia.

Metti le coppie della tabella su una griglia, con il numero dei tavoli in orizzontale e i posti in verticale: i punti (1, 4), (2, 6), (3, 8) stanno su un'unica retta. Il laboratorio dei grafici disegna la retta y = 2x + 2. Per la mensa hanno significato solo i punti in cui x è un numero intero di tavoli, 1 o più, ma la retta mostra la regolarità a colpo d'occhio: sale di 2 per ogni passo di 1, che è l'«aggiungi 2» visto all'inizio, e incrocerebbe l'asse verticale in 2, i due posti alle estremità. Regole come questa sono la porta d'ingresso alle funzioni, tema del prossimo corso.

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La retta y = 2x + 2. Leggi la piccola tabella sotto il grafico: per x = 1 dà 4 e per x = 2 dà 6, cioè i numeri dei posti. Porta il coefficiente angolare a 3 e l'intercetta a 1 per disegnare invece la regola dei fiammiferi, 3n + 1.

Le formule sono regole già trovate

Una formula è la stessa idea con il lavoro già fatto. Il perimetro di un rettangolo è P = 2L + 2W: due lunghezze e due larghezze. Con L = 8 cm e W = 5 cm, P = 16 + 10 = 26 cm. Per la proprietà distributiva è anche P = 2(L + W), e 2 · 13 = 26 dà la stessa risposta. Distanza, velocità e tempo sono legati da d = rt. Un treno che viaggia a 60 km all'ora per 2.5 ore percorre 60 · 2.5 = 150 km. Calcolare una formula significa calcolare un'espressione: sostituisci ogni lettera con il suo valore e segui l'ordine delle operazioni. Le unità di misura accompagnano i numeri, quindi controlla che siano compatibili prima di moltiplicare.

  1. Con 2n + 2, quanti posti offrono 20 tavoli in fila?
  2. Quanti tavoli in fila servono per esattamente 30 persone?
  3. Quanti fiammiferi servono per 10 quadrati in fila?
  4. Scrivi la regola dei fiammiferi per n quadrati in fila.
  5. Quale espressione equivale a 4 + 2(n − 1)?
    • 2n + 2
    • 2n + 3
    • 6n − 2
    • 2n − 1
  6. Qual è la regola del termine n nella successione 5, 8, 11, 14, …?
    • 3n + 2
    • n + 3
    • 5n
    • 3n + 5
  7. Qual è il termine numero 100 nella successione 3n + 2?
  8. Scrivi la regola del termine n di 7, 11, 15, 19, …
  9. Un rettangolo è lungo 8 cm e largo 5 cm. Calcola P = 2L + 2W.
  10. Un treno viaggia a 60 km all'ora per 2.5 ore. Usa d = rt.
  11. Calcola 5n − 2 per n = 6.
Errori comuni
  • «Ogni tavolo ha 4 posti, quindi n tavoli ne hanno 4n.» Unendoli perdi i posti a contatto. Con n = 2, 4n dà 8, ma ci stanno solo 6 persone. Conta su un disegno prima di fidarti.
  • «La regola di 5, 8, 11, 14 è n + 3: ogni numero supera il precedente di 3.» «3 più del precedente» descrive il passo successivo. n + 3 dà invece 4, 5, 6, 7. Per il termine n serve 3n, crescita per passo, più una parte fissa: 3n + 2.
  • «Funziona con n = 1, quindi è corretta.» Molte regole sbagliate passano un caso: 4n e 2n + 2 danno entrambe 4 per n = 1. Verifica almeno altri due valori, come n = 2 e n = 3.
Nota per l'insegnanteLe regolarità attraversano tutto il curricolo nazionale coreano del 2022. Nelle classi 1 e 2 della primaria si trovano regole in disposizioni di oggetti e di numeri. Nelle classi 3 e 4 si spiegano regole che cambiano e si scrivono come numeri o espressioni, con l'avvertenza di evitare problemi che richiedono calcoli misti o un'espressione del termine generale. Nelle classi 5 e 6 si scrivono relazioni a partire da una tabella con quadratini e triangoli, e l'avvertenza le limita a una sola addizione, sottrazione, moltiplicazione o divisione. Una regola come 2n + 2 appartiene quindi alla fascia della scuola media, dove entrano le lettere, il valore di un'espressione e, più avanti, il valore di una funzione. Una buona mossa in classe è raccogliere le diverse regole che gli studenti trovano per la stessa regolarità e semplificarle insieme.
Punti chiave
  • Una regola in n risponde a ogni caso: 2n + 2 posti per n tavoli.
  • Controlla una regola su almeno tre casi contati, non su uno solo.
  • Modi diversi di vedere danno espressioni equivalenti: 4 + 2(n − 1) = 2n + 2.
  • Una formula è un'espressione pronta: P = 2L + 2W, d = rt.
Fonti di questo corso (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

Consultato il: 2026-10-19