edubun
Русский
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Главная›Алгебра›Выражения

Выражения как правила: закономерности и формулы

За одним квадратным столом 4 места. Поставь n таких столов в ряд, и поместятся 2n + 2 человека, то есть за 20 столами 42.

Столы в ряд

За квадратным столом сидит по одному человеку с каждой стороны, всего 4. Сдвинь два стола: у соприкасающихся сторон места исчезнут, останется 6. За тремя столами поместятся 8 человек, за четырьмя 10. Число столов каждый раз увеличивается на 1, число мест — на 2. Правило «прибавить 2» легко заметить, но оно медленно отвечает на вопрос «сколько мест за 20 столами?», ведь пришлось бы пройти все шаги. Выражение с n, числом столов, даёт ответ сразу. На рисунке ниже показаны первые три расстановки.

Сверху: 1, 2 и 3 квадратных стола в ряд вмещают 4, 6 и 8 человек (оранжевые точки): по одному месту сверху и снизу у каждого стола и по одному на каждом конце, то есть 2n + 2. Снизу: 1, 2 и 3 квадрата в ряд требуют 4, 7 и 10 спичек: одна спичка в начале, затем по 3 на каждый квадрат, то есть 3n + 1.

Посмотри на рисунок с n столами. У каждого есть место сверху и снизу, что даёт 2n, а два конца добавляют ещё по одному, поэтому всего 2n + 2. Проверь по подсчётам: n = 1 даёт 4, n = 3 даёт 8. Теперь ответь на вопрос: за 20 столами помещаются 2 · 20 + 2 = 42 человека. Выражение работает и в обратную сторону. Чтобы посадить 30 человек, нужно 2n + 2 = 30, значит, 2n = 28 и n = 14 столов. Правило в виде выражения действует как машина: принимает любое n и выдаёт ответ для этого n.

Разные взгляды дают тождественно равные выражения

Кто-то может увидеть столы иначе. За первым помещаются 4 человека, а каждый следующий добавляет 2, поэтому для n столов получается 4 + 2(n − 1). Это совсем не похоже на 2n + 2, но выражения тождественно равны: раскрой скобки, 4 + 2n − 2 = 2n + 2. То же происходит со спичками на рисунке. Один говорит: «Одна спичка в начале, затем по 3 на квадрат», то есть 3n + 1. Другой: «4 для первого квадрата, по 3 для каждого следующего», то есть 4 + 3(n − 1), что тоже упрощается до 3n + 1. Если два человека нашли разные правила, упрости оба и сравни. Если они совпадают, оба правильно заметили закономерность.

Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

В столбце A записано число столов. Введи =2*A2+2 в B2 и протяни вниз: получатся 4, 6, 8, 10, 12 и 14. Затем вместо этого попробуй =4+2*(A2-1): столбец не изменится.

Нанеси пары из таблицы на координатную сетку: число столов по горизонтали, число мест по вертикали. Точки (1, 4), (2, 6), (3, 8) лежат на одной прямой. Графическая лаборатория строит прямую y = 2x + 2. Для столовой смысл имеют только точки, где x является целым числом столов, не меньше 1. Но прямая сразу показывает закономерность: подъём на 2 при каждом шаге на 1 соответствует правилу «прибавить 2», замеченному вначале. Вертикальную ось она пересекла бы на отметке 2, соответствующей двум торцевым местам. Такие правила открывают путь к функциям, теме следующего курса.

Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

Прямая y = 2x + 2. Прочитай маленькую таблицу под графиком: при x = 1 получается 4, а при x = 2 получается 6, как при подсчёте мест. Измени наклон на 3, а свободный член на 1, чтобы вместо этого построить правило для спичек 3n + 1.

Формулы — уже найденные правила

Формула выражает ту же идею, но работа уже выполнена. Периметр прямоугольника P = 2L + 2W: две длины и две ширины. При L = 8 см и W = 5 см получаем P = 16 + 10 = 26 см. По распределительному свойству также P = 2(L + W), и 2 · 13 = 26 даёт тот же ответ. Расстояние, скорость и время связаны формулой d = rt. Поезд, идущий со скоростью 60 км в час в течение 2.5 часа, проходит 60 · 2.5 = 150 км. Вычислить по формуле означает найти значение выражения: замени каждую букву её значением и соблюдай порядок действий. Единицы идут вместе с числами, поэтому перед умножением проверь их согласованность.

  1. По правилу 2n + 2 сколько человек сядут за 20 столами в ряд?
  2. Сколько столов в ряд нужно ровно для 30 человек?
  3. Сколько спичек нужно для 10 квадратов в ряд?
  4. Запиши правило спичек для n квадратов в ряд.
  5. Что равно 4 + 2(n − 1)?
    • 2n + 2
    • 2n + 3
    • 6n − 2
    • 2n − 1
  6. Какое правило задаёт n-й член 5, 8, 11, 14, …?
    • 3n + 2
    • n + 3
    • 5n
    • 3n + 5
  7. Каков 100-й член последовательности 3n + 2?
  8. Запиши правило n-го члена 7, 11, 15, 19, …
  9. У прямоугольника длина 8 см и ширина 5 см. Найди P = 2L + 2W.
  10. Поезд идёт 60 км в час в течение 2.5 часа. Используй d = rt.
  11. Найди значение выражения 5n − 2 при n = 6.
Частые ошибки
  • «За столом 4 места, значит, за n столами 4n». Сдвинутые столы теряют места у стыков. При n = 2 правило 4n даёт 8, но помещаются только 6 человек. Прежде чем доверять правилу, посчитай по рисунку.
  • «Для 5, 8, 11, 14 правило n + 3, потому что каждое число на 3 больше предыдущего». «На 3 больше предыдущего» задаёт переход от числа к числу, а n + 3 даёт 4, 5, 6, 7. Для n-го члена нужно 3n (рост за шаг) плюс постоянная часть: 3n + 2.
  • «Правило работает при n = 1, значит, оно верно». Многие неверные правила подходят для одного случая: 4n и 2n + 2 дают 4 при n = 1. Проверь ещё хотя бы два значения, например n = 2 и n = 3.
Заметка для учителяЗакономерности проходят через всю национальную учебную программу Южной Кореи 2022 года. В 1–2 классах начальной школы находят правила в расположении предметов и чисел. В 3–4 классах объясняют правила изменения и записывают их числами или выражениями; примечание исключает задачи, требующие смешанных вычислений или формулы общего члена. В 5–6 классах связи из таблицы записывают квадратиками и треугольниками, причём примечание ограничивает их одним сложением, вычитанием, умножением или делением. Поэтому правило вроде 2n + 2 относится к средней школе, где вводятся буквы, значение выражения, а позже значение функции. Полезный приём на уроке — собрать разные правила, найденные учениками для одной закономерности, и вместе упростить их.
Главное
  • Правило через n сразу отвечает для любого случая: 2n + 2 места за n столами.
  • Проверяй правило хотя бы на трёх посчитанных случаях, а не на одном.
  • Разные способы увидеть закономерность дают тождественно равные выражения: 4 + 2(n − 1) = 2n + 2.
  • Формула — готовое выражение: P = 2L + 2W, d = rt.
Источники курса (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

Проверено: 2026-10-19