edubun
Русский
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Главная›Алгебра›Выражения

Вынесение общего множителя

12x + 18 и 6(2x + 3) — это одно и то же выражение. Только второе сразу показывает, что при любом целом x значение кратно 6.

Двенадцать ручек, восемнадцать тетрадей, без остатка

Представь хозяйку магазина канцтоваров: у неё 12 ручек и 18 тетрадей, из которых нужно сделать одинаковые подарочные наборы без остатка. Можно сделать два набора: по 6 ручек и 9 тетрадей. Можно три: по 4 и 6. Максимум получится 6 наборов, по 2 ручки и 3 тетради, потому что 6 является наибольшим числом, на которое делятся и 12, и 18. В символах сумма превратилась в произведение: 12 + 18 = 6 · 2 + 6 · 3 = 6(2 + 3). Шесть наборов, в каждом по 2 + 3 предмета. Чтение справа налево даёт распределительное свойство из прошлого урока. Чтение слева направо даёт разложение на множители.

Теперь предположим, что заказ увеличился: x коробок по 12 ручек и 18 отдельных тетрадей. Всего 12x + 18, и те же 6 делят обе части, поэтому 12x + 18 = 6 · 2x + 6 · 3 = 6(2x + 3). На рисунке это прямоугольник площадью 12x + 18. Если его высота 6, ширина равна 2x + 3. Можно взять высоту 2 и ширину 6x + 9, и это тоже верно, но внутри 6x + 9 остаётся общий множитель 3. Вынесение наибольшего общего множителя не оставляет ничего, что ещё можно вынести.

Два прямоугольника одинаковой площади 12x + 18 в одном масштабе. Верхний: высота 6, ширина 2x + 3. Нижний: высота 2, ширина 6x + 9. Нижний верен, но не доведён до конца: 6x + 9 = 3(2x + 3).

Наибольший общий множитель

Разложить на множители означает представить произведение через его множители. Наибольший общий множитель, или НОД, двух или нескольких выражений — наибольшее выражение, являющееся множителем каждого из них. Для чисел выпиши простые множители и оставь общие для всех чисел. Первый пример OpenStax — 54 и 36: 54 = 2 · 3 · 3 · 3, а 36 = 2 · 2 · 3 · 3, значит, общий множитель 2 · 3 · 3 = 18. Действительно, 54 = 18 · 3 и 36 = 18 · 2. С переменными действуй так же, считая каждую букву множителем. В 27x³ = 3 · 3 · 3 · x · x · x и 18x⁴ = 2 · 3 · 3 · x · x · x · x общими являются 3 · 3 · x · x · x, поэтому наибольший общий множитель равен 9x³.

  1. Найди наибольший общий множитель всех слагаемых.
  2. Запиши каждое слагаемое как произведение этого множителя и оставшейся части.
  3. Примени распределительное свойство в обратную сторону: вынеси общий множитель за скобки.
  4. Проверь обратным раскрытием скобок.

Это четыре шага из OpenStax, и последний ученики пропускают чаще всего. Обратное умножение выполняется быстро и ловит почти любую ошибку. 4x + 12 = 4(x + 3), и 4 · x + 4 · 3 возвращает 4x + 12. 12x − 60 = 12(x − 5). В 5a + 5 = 5(a + 1) важна единица: без неё скобка раскрылась бы в 5a, а не в 5a + 5. Если слагаемых три, общий множитель должен делить все три: 4y² + 24y + 28 = 4(y² + 6y + 7). С буквами он может включать степень: 5x³ − 25x² = 5x²(x − 5) и 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5).

Если первое слагаемое отрицательное, минус принято выносить вместе с наибольшим общим множителем. OpenStax раскладывает −8y − 24 как −8(y + 3); проверка: −8 · y = −8y и −8 · 3 = −24. Общий множитель не обязательно должен быть одним слагаемым. В 5q(q + 7) − 6(q + 7) обе части содержат целые скобки q + 7, поэтому они выносятся одним блоком: (q + 7)(5q − 6). Разложение на множители объясняет и свойства целых чисел. Три последовательных целых числа n, n + 1 и n + 2 дают в сумме 3n + 3 = 3(n + 1): это всегда число, кратное 3, и всегда утроенное среднее число.

Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

В столбце B стоит 12x + 18. В C2 введи =6*(2*A2+3) и протяни формулу вниз: все строки совпадут с B. Попробуй неверное разложение, например =6*(2*A2+18), чтобы увидеть, что проверка не проходит, а затем исправь его.
4x + 124(x + 3)
12x − 6012(x − 5)
5a + 55(a + 1)
5x³ − 25x²5x²(x − 5)
−8y − 24−8(y + 3)
21x³ − 9x² + 15x3x(7x² − 3x + 5)
n + (n + 1) + (n + 2)3(n + 1)
  1. Найди НОД 54 и 36.
  2. Найди НОД 12 и 18.
  3. Разложи 4x + 12 на множители.
  4. Разложи 12x − 60.
  5. Разложи 5a + 5.
  6. Разложи −8y − 24, вынеся минус.
  7. Полностью разложи 5x³ − 25x².
    • 5x²(x − 5)
    • 5x(x² − 5x)
    • 5(x³ − 5x²)
    • x²(5x − 25)
  8. Полностью разложи 21x³ − 9x² + 15x.
    • 3x(7x² − 3x + 5)
    • 3(7x³ − 3x² + 5x)
    • x(21x² − 9x + 15)
    • 3x(7x² − 9x + 15)
  9. Разложи 5q(q + 7) − 6(q + 7).
    • (q + 7)(5q − 6)
    • (q + 7)(5q + 6)
    • 5q − 6(q + 7)
    • (5q − 6)q + 7
  10. Вычисли 37 · 13 + 37 · 7 вынесением множителя.
  11. Сумма любых трёх последовательных целых всегда кратна:
    • 3
    • 2
    • 6
    • 9
  12. Вычисли 6(2x + 3) при x = 4.
Частые ошибки
  • «6x + 6 = 6x». После вынесения 6 из второго слагаемого остаётся 1, а не ничего: 6x + 6 = 6(x + 1). Проверь раскрытием: 6(x) даёт только 6x.
  • «12x + 18 = 2(6x + 9) полностью разложено». Равенство верно, но в 6x + 9 остаётся общий множитель 3. Вынеси наибольший общий множитель 6, получишь 6(2x + 3).
  • «−8y − 24 = −8(y − 3)». Проверь раскрытием: −8 · (−3) = +24, а не −24. Вынесение −8 меняет оба знака внутри: −8(y + 3).
Заметка для учителяВ национальной учебной программе Южной Кореи 2022 года наибольший общий делитель появляется дважды до разложения на множители: в 5–6 классах начальной школы вместе с делителями и общими делителями, затем в средней школе, где его находят через разложение на простые множители. Само разложение на множители включено в стандарт средней школы об умножении многочленов и разложении; пояснение требует понимать их как обратные процессы. В списке терминов есть множитель и разложение на множители. Программа также предлагает показать, как арифметика и разложение на простые множители распространяются на многочлены; задача о подарочных наборах делает связь наглядной. Ученики пропускают заключительную проверку раскрытием скобок, поэтому сделай её частью письменного ответа.
Главное
  • Разложение превращает сумму в произведение: ab + ac = a(b + c).
  • Найди наибольший общий множитель всех слагаемых (чисел и букв) и вынеси его за скобки.
  • Проверь раскрытием: 5(a + 1) возвращает 5a + 5.
  • Выноси наибольший общий множитель, а если первое слагаемое отрицательное, то и минус: −8y − 24 = −8(y + 3).
Источники курса (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

Проверено: 2026-10-19