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Start›Algebra›Terme

Einen gemeinsamen Faktor ausklammern

12x + 18 und 6(2x + 3) sind gleichwertige Terme. Nur der zweite zeigt sofort: Für jede nicht negative ganze Zahl x ist der Wert ein Vielfaches von 6.

Zwölf Stifte, achtzehn Hefte, keine Reste

Stell dir eine Schreibwarenhändlerin mit 12 Stiften und 18 Heften vor, die gleiche Geschenksets zusammenstellen will, jedes Set gleich und nichts übrig. Zwei Sets gehen: je 6 Stifte und 9 Hefte. Drei Sets gehen auch: je 4 und 6. Das Höchste, was sie zusammenstellen kann, sind 6 Sets mit je 2 Stiften und 3 Heften, denn 6 ist die größte Zahl, die sowohl 12 als auch 18 teilt. In Symbolen hat sie eine Summe in ein Produkt verwandelt: 12 + 18 = 6 · 2 + 6 · 3 = 6(2 + 3). Es sind sechs Sets, und jedes Set enthält 2 + 3 Stücke. Liest du diese Zeile von rechts nach links, ist das das Distributivgesetz aus der letzten Einheit. Liest du sie von links nach rechts, ist es das Faktorisieren.

Nun eine größere Bestellung: x Packungen zu 12 Stiften und 18 einzelne Hefte. Insgesamt 12x + 18, beide Teile noch durch 6 teilbar: 12x + 18 = 6 · 2x + 6 · 3 = 6(2x + 3). Die Zeichnung zeigt ein Rechteck der Fläche 12x + 18: Bei Höhe 6 ist die Breite 2x + 3. Auch Höhe 2 und Breite 6x + 9 wären richtig, doch darin steckt noch Faktor 3. Den größten gemeinsamen Faktor auszuklammern lässt keinen weiteren übrig.

Zwei Rechtecke gleicher Fläche 12x + 18 im selben Maßstab. Oben: Höhe 6, Breite 2x + 3. Unten: Höhe 2, Breite 6x + 9. Unten ist es richtig, aber unfertig: 6x + 9 = 3(2x + 3).

Den größten gemeinsamen Faktor finden

Faktorisieren zerlegt ein Produkt in Faktoren. Der größte gemeinsame Faktor mehrerer Terme ist der größte Term, der in allen als Faktor steckt. Bei Zahlen zerlegst du in Primfaktoren und behältst die gemeinsamen. OpenStax beginnt mit 54 und 36: 54 = 2 · 3 · 3 · 3 und 36 = 2 · 2 · 3 · 3. Gemeinsam ist 2 · 3 · 3 = 18, tatsächlich 54 = 18 · 3 und 36 = 18 · 2. Variablen funktionieren genauso. 27x³ = 3 · 3 · 3 · x · x · x und 18x⁴ = 2 · 3 · 3 · x · x · x · x teilen 3 · 3 · x · x · x, also Faktor 9x³.

  1. Finde den größten gemeinsamen Faktor aller Glieder.
  2. Schreibe jedes Glied als diesen Faktor mal einen weiteren.
  3. Nutze das Distributivgesetz rückwärts und zieh den gemeinsamen Faktor vor die Klammer.
  4. Prüfe durch erneutes Ausmultiplizieren.

Das sind OpenStax' vier Schritte; der letzte wird oft vergessen. Ausmultiplizieren geht schnell und findet fast jeden Fehler. 4x + 12 = 4(x + 3), und 4 · x + 4 · 3 ergibt wieder 4x + 12. 12x − 60 = 12(x − 5). Bei 5a + 5 = 5(a + 1) ist die 1 wichtig: Ohne sie entstünde nur 5a. Bei drei Gliedern muss der Faktor alle teilen: 4y² + 24y + 28 = 4(y² + 6y + 7). Mit Buchstaben kann eine Potenz dazugehören: 5x³ − 25x² = 5x²(x − 5) und 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5).

Ist das erste Glied negativ, klammert man meist auch das Minus aus. OpenStax schreibt −8y − 24 = −8(y + 3); Probe: −8 · y = −8y und −8 · 3 = −24. Der gemeinsame Faktor darf auch eine Klammer sein. In 5q(q + 7) − 6(q + 7) steckt q + 7 in beiden Teilen: (q + 7)(5q − 6). Faktorisieren erklärt auch Zahleneigenschaften. Drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen n, n + 1 und n + 2 ergeben 3n + 3 = 3(n + 1), immer ein Vielfaches von 3 und das Dreifache der mittleren Zahl.

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B enthält 12x + 18. Tippe =6*(2*A2+3) in C2 und fülle nach unten: Jede Zeile passt. Versuch einen Fehler wie =6*(2*A2+18), beobachte die fehlgeschlagene Prüfung und korrigiere ihn.
4x + 124(x + 3)
12x − 6012(x − 5)
5a + 55(a + 1)
5x³ − 25x²5x²(x − 5)
−8y − 24−8(y + 3)
21x³ − 9x² + 15x3x(7x² − 3x + 5)
n + (n + 1) + (n + 2)3(n + 1)
  1. Finde den ggT von 54 und 36.
  2. Finde den ggT von 12 und 18.
  3. Faktorisiere 4x + 12.
  4. Faktorisiere 12x − 60.
  5. Faktorisiere 5a + 5.
  6. Faktorisiere −8y − 24 mit ausgeklammertem Minus.
  7. Faktorisiere 5x³ − 25x² vollständig.
    • 5x²(x − 5)
    • 5x(x² − 5x)
    • 5(x³ − 5x²)
    • x²(5x − 25)
  8. Faktorisiere 21x³ − 9x² + 15x vollständig.
    • 3x(7x² − 3x + 5)
    • 3(7x³ − 3x² + 5x)
    • x(21x² − 9x + 15)
    • 3x(7x² − 9x + 15)
  9. Faktorisiere 5q(q + 7) − 6(q + 7).
    • (q + 7)(5q − 6)
    • (q + 7)(5q + 6)
    • 5q − 6(q + 7)
    • (5q − 6)q + 7
  10. Berechne 37 · 13 + 37 · 7 durch Ausklammern.
  11. Die Summe dreier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen ist immer ein Vielfaches von:
    • 3
    • 2
    • 6
    • 9
  12. Werte 6(2x + 3) für x = 4 aus.
Häufige Fehler
  • „6x + 6 = 6x.“ Beim Ausklammern von 6 bleibt im zweiten Glied 1, nicht nichts: 6x + 6 = 6(x + 1). Probe durch Ausmultiplizieren: 6(x) wäre nur 6x.
  • „12x + 18 = 2(6x + 9) ist vollständig faktorisiert.“ Die Gleichheit stimmt, aber 6x + 9 hat noch Faktor 3. Klammere den größten gemeinsamen Faktor 6 aus: 6(2x + 3).
  • „−8y − 24 = −8(y − 3).“ Multipliziere zur Probe aus: −8 · (−3) = +24, nicht −24. Bei Faktor −8 drehen sich beide inneren Vorzeichen um: −8(y + 3).
Hinweis für LehrkräfteIm koreanischen Lehrplan von 2022 kommt der größte gemeinsame Teiler vor dem algebraischen Faktorisieren zweimal vor: in Klassen 5 bis 6 mit Teilern und gemeinsamen Teilern und in der Mittelschule über Primfaktorzerlegung. Faktorisieren gehört zum Lernziel über Polynomprodukte; beide Verfahren sollen als Umkehrungen verstanden werden. Faktor und Faktorisieren stehen in der Begriffsliste. Auch die Erweiterung von Arithmetik und Primfaktorzerlegung auf Polynome soll erkennbar sein; die Geschenksets machen das greifbar. Die Probe durch Ausmultiplizieren wird oft ausgelassen. Mach sie zum schriftlichen Teil der Lösung.
Das Wichtigste
  • Faktorisieren schreibt eine Summe als Produkt: ab + ac = a(b + c).
  • Finde den größten gemeinsamen Faktor aller Glieder, Zahlen und Buchstaben, und zieh ihn vor die Klammer.
  • Probe durch Ausmultiplizieren: 5(a + 1) ergibt wieder 5a + 5.
  • Klammere den größten Faktor und bei negativem Anfang das Minus aus: −8y − 24 = −8(y + 3).
Quellen zu diesem Kurs (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

Abgerufen: 2026-10-19