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Extraer un factor común

12x + 18 y 6(2x + 3) son la misma expresión. Solo la segunda permite ver de inmediato que, para cualquier entero no negativo x, el valor es múltiplo de 6.

Doce plumas, dieciocho cuadernos, sin sobrantes

Imagina a la dueña de una papelería con 12 plumas y 18 cuadernos que quiere hacer paquetes de regalo idénticos, sin que sobre nada. Puede hacer dos paquetes: 6 plumas y 9 cuadernos en cada uno. También tres: 4 y 6. Como máximo puede hacer 6, con 2 plumas y 3 cuadernos cada uno, porque 6 es el mayor número que divide tanto a 12 como a 18. En símbolos, convirtió una suma en producto: 12 + 18 = 6 · 2 + 6 · 3 = 6(2 + 3). Seis paquetes, cada uno con 2 + 3 artículos. Leer de derecha a izquierda es aplicar la propiedad distributiva anterior; leer de izquierda a derecha es factorizar.

Ahora supón que el pedido aumenta: x cajas de 12 plumas y 18 cuadernos sueltos. El total es 12x + 18 y el mismo 6 divide ambas partes: 12x + 18 = 6 · 2x + 6 · 3 = 6(2x + 3). En la figura lo ves como un rectángulo de área 12x + 18. Si su altura es 6, su ancho es 2x + 3. También podría tener altura 2 y ancho 6x + 9; es correcto, pero dentro de 6x + 9 todavía queda un factor 3. Al extraer el máximo factor común, ya no queda nada más que extraer.

Dos rectángulos de igual área, 12x + 18, dibujados a la misma escala. Arriba: altura 6, ancho 2x + 3. Abajo: altura 2, ancho 6x + 9. El inferior es correcto pero no está terminado, porque 6x + 9 = 3(2x + 3).

Hallar el máximo factor común

Factorizar significa descomponer un producto en sus factores. El máximo factor común de dos o más expresiones es la mayor expresión que es factor de todas ellas. Para números, enumera los factores primos y conserva los que comparten todos. El primer ejemplo de OpenStax es 54 y 36: 54 = 2 · 3 · 3 · 3 y 36 = 2 · 2 · 3 · 3; comparten 2 · 3 · 3 = 18 y, en efecto, 54 = 18 · 3 y 36 = 18 · 2. Con variables funciona igual, contando cada letra como factor. 27x³ = 3 · 3 · 3 · x · x · x y 18x⁴ = 2 · 3 · 3 · x · x · x · x comparten 3 · 3 · x · x · x, así que su máximo factor común es 9x³.

  1. Halla el máximo factor común de todos los términos.
  2. Reescribe cada término como el máximo factor común por otro factor.
  3. Aplica la propiedad distributiva al revés para sacar el máximo factor común del paréntesis.
  4. Comprueba multiplicando de nuevo los factores.

Estos son los cuatro pasos de OpenStax, y el último es el que suele omitirse. Volver a multiplicar es rápido y detecta casi todos los errores. 4x + 12 = 4(x + 3), y 4 · x + 4 · 3 recupera 4x + 12. 12x − 60 = 12(x − 5). 5a + 5 = 5(a + 1), donde el 1 importa: sin él, al desarrollar obtendrías 5a, no 5a + 5. Con tres términos, el máximo factor común debe dividir a los tres, como en 4y² + 24y + 28 = 4(y² + 6y + 7). Con letras puede incluir una potencia, como en 5x³ − 25x² = 5x²(x − 5) y 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5).

Si el primer término es negativo, se suele extraer también el signo menos con el factor común. OpenStax factoriza −8y − 24 como −8(y + 3); comprueba: −8 · y = −8y y −8 · 3 = −24. El factor común tampoco tiene que ser un solo término. En 5q(q + 7) − 6(q + 7), ambas partes contienen todo el paréntesis q + 7, que sale como un bloque: (q + 7)(5q − 6). Factorizar también explica propiedades de los enteros. Tres enteros consecutivos n, n + 1 y n + 2 suman 3n + 3 = 3(n + 1), siempre múltiplo de 3 y siempre el triple del número central.

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La columna B contiene 12x + 18. Escribe =6*(2*A2+3) en C2 y rellena hacia abajo: cada fila coincide con B. Prueba una factorización incorrecta como =6*(2*A2+18) para ver cómo falla la comprobación y luego corrígela.
4x + 124(x + 3)
12x − 6012(x − 5)
5a + 55(a + 1)
5x³ − 25x²5x²(x − 5)
−8y − 24−8(y + 3)
21x³ − 9x² + 15x3x(7x² − 3x + 5)
n + (n + 1) + (n + 2)3(n + 1)
  1. Halla el máximo factor común de 54 y 36.
  2. Halla el máximo factor común de 12 y 18.
  3. Factoriza 4x + 12.
  4. Factoriza 12x − 60.
  5. Factoriza 5a + 5.
  6. Factoriza −8y − 24 extrayendo el signo menos.
  7. Factoriza por completo 5x³ − 25x².
    • 5x²(x − 5)
    • 5x(x² − 5x)
    • 5(x³ − 5x²)
    • x²(5x − 25)
  8. Factoriza por completo 21x³ − 9x² + 15x.
    • 3x(7x² − 3x + 5)
    • 3(7x³ − 3x² + 5x)
    • x(21x² − 9x + 15)
    • 3x(7x² − 9x + 15)
  9. Factoriza 5q(q + 7) − 6(q + 7).
    • (q + 7)(5q − 6)
    • (q + 7)(5q + 6)
    • 5q − 6(q + 7)
    • (5q − 6)q + 7
  10. Usa la factorización para calcular 37 · 13 + 37 · 7.
  11. La suma de tres enteros consecutivos cualesquiera siempre es múltiplo de:
    • 3
    • 2
    • 6
    • 9
  12. Evalúa 6(2x + 3) cuando x = 4.
Errores frecuentes
  • «6x + 6 = 6x». Al extraer 6 del segundo término queda 1, no desaparece todo: 6x + 6 = 6(x + 1). Desarrolla para comprobar: 6(x) solo es 6x.
  • «12x + 18 = 2(6x + 9) está completamente factorizado». La igualdad es correcta, pero 6x + 9 aún tiene factor común 3. Extrae el máximo factor común, 6, para obtener 6(2x + 3).
  • «−8y − 24 = −8(y − 3)». Desarrolla para comprobar: −8 · (−3) = +24, no −24. Extraer −8 cambia ambos signos interiores: −8(y + 3).
Nota para docentesEn el currículo nacional coreano de 2022, el máximo común divisor aparece dos veces antes de la factorización: en los grados 5 y 6 de primaria con divisores y divisores comunes, y en secundaria, donde se usa la descomposición en factores primos para hallarlo. La factorización algebraica está en el estándar de multiplicación y factorización de polinomios, y se pide entenderlas como procesos inversos. La lista de términos incluye factor y factorización. También se indica que el alumnado debe reconocer cómo la aritmética y la descomposición en primos se extienden a polinomios; el problema de los paquetes de regalo concreta esa relación. El paso que suele omitirse es comprobar al final mediante el desarrollo, así que hazlo parte de la respuesta escrita.
Ideas clave
  • Factorizar es escribir una suma como producto: ab + ac = a(b + c).
  • Halla el máximo factor común de todos los términos, tanto en los números como en las letras, y sácalo del paréntesis.
  • Comprueba desarrollando: 5(a + 1) recupera 5a + 5.
  • Extrae el máximo factor común y también el signo menos si el primer término es negativo: −8y − 24 = −8(y + 3).
Fuentes de este curso (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

Fecha de consulta: 2026-10-19