Een gemeenschappelijke factor buiten haakjes halen

12x + 18 en 6(2x + 3) zijn dezelfde uitdrukking. Alleen de tweede vorm laat in één oogopslag zien dat de waarde voor elk geheel getal x een veelvoud van 6 is.

Twaalf pennen, achttien schriften, niets over

Stel je een winkelier voor met 12 pennen en 18 schriften, die identieke cadeaupakketten wil maken. Elk pakket moet hetzelfde zijn en er mag niets overblijven. Twee pakketten kan: elk met 6 pennen en 9 schriften. Drie pakketten kan ook: elk met 4 en 6. Het grootste aantal is 6 pakketten, elk met 2 pennen en 3 schriften, omdat 6 het grootste getal is dat zowel 12 als 18 deelt. In symbolen heeft ze een som in een product veranderd: 12 + 18 = 6 · 2 + 6 · 3 = 6(2 + 3). Zes pakketten, elk met 2 + 3 voorwerpen. Lees je die regel van rechts naar links, dan zie je de distributiviteit uit het vorige hoofdstuk. Van links naar rechts is het ontbinden in factoren.

Stel nu dat de bestelling groter is: x dozen met elk 12 pennen en daarnaast 18 losse schriften. Het totaal is 12x + 18 en dezelfde 6 deelt nog steeds beide delen. Dus 12x + 18 = 6 · 2x + 6 · 3 = 6(2x + 3). De afbeelding toont dit als een rechthoek met oppervlakte 12x + 18. Maak hem 6 hoog en hij is 2x + 3 breed. Je kunt hem ook 2 hoog en 6x + 9 breed maken, en dat klopt eveneens. Maar in 6x + 9 zit nog steeds een gemeenschappelijke factor 3. Als je de grootste gemeenschappelijke factor buiten haakjes haalt, blijft er niets meer over om buiten haakjes te halen.

De grootste gemeenschappelijke factor vinden

Ontbinden betekent een product terugbrengen tot zijn factoren. De grootste gemeenschappelijke factor, of GCF, van twee of meer uitdrukkingen is de grootste uitdrukking die een factor is van al die uitdrukkingen. Bij getallen schrijf je de priemfactoren op en houd je de factoren over die elk getal gemeen heeft. Het eerste voorbeeld van OpenStax is 54 en 36: 54 = 2 · 3 · 3 · 3 en 36 = 2 · 2 · 3 · 3. Ze delen dus 2 · 3 · 3 = 18, en inderdaad: 54 = 18 · 3 en 36 = 18 · 2. Met variabelen werkt het hetzelfde, waarbij je elke letter als een factor telt. 27x³ = 3 · 3 · 3 · x · x · x en 18x⁴ = 2 · 3 · 3 · x · x · x · x hebben 3 · 3 · x · x · x gemeen. Hun GCF is dus 9x³.

1. Zoek de GCF van alle termen.
2. Herschrijf elke term als GCF maal iets.
3. Gebruik distributiviteit omgekeerd om de GCF buiten haakjes te halen.
4. Controleer door de factoren terug te vermenigvuldigen.

Dit zijn de vier stappen die OpenStax geeft, en juist de laatste slaan leerlingen over. Terugvermenigvuldigen gaat snel en vangt vrijwel elke fout. 4x + 12 = 4(x + 3), en 4 · x + 4 · 3 levert weer 4x + 12 op. 12x − 60 = 12(x − 5). Bij 5a + 5 = 5(a + 1) is de 1 belangrijk: zonder die 1 zouden de haakjes 5a opleveren, niet 5a + 5. Bij drie termen moet de GCF alle drie de termen delen, zoals in 4y² + 24y + 28 = 4(y² + 6y + 7). Met letters kan de GCF een macht bevatten, zoals in 5x³ − 25x² = 5x²(x − 5) en 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5).

Als de eerste term negatief is, halen we het minteken gewoonlijk mee naar buiten als deel van de GCF. OpenStax ontbindt −8y − 24 als −8(y + 3). Controleer: −8 · y = −8y en −8 · 3 = −24. De gemeenschappelijke factor hoeft ook niet uit één term te bestaan. In 5q(q + 7) − 6(q + 7) bevatten beide delen het hele haakje q + 7. Dat haal je dus als één blok buiten haakjes: (q + 7)(5q − 6). Ontbinden verklaart ook eigenschappen van gehele getallen. Drie opeenvolgende gehele getallen n, n + 1 en n + 2 hebben samen de som 3n + 3 = 3(n + 1). Die is altijd een veelvoud van 3 en altijd drie keer het middelste getal.