De distributieve eigenschap en haakjes uitwerken

7 · 98 is lastig uit het hoofd, tot je het schrijft als 7 · (100 − 2) = 700 − 14 = 686.

Probeer dit vóór je verder leest: 7 · 98

Bereken 7 · 98 zonder papier. Wie dit snel kan, vermenigvuldigt meestal niet cijfer voor cijfer 98 met 7. Je ziet dat 98 precies 2 minder is dan 100, neemt zeven honderdtallen, dus 700, en haalt er zeven tweetallen af, dus 14. Het antwoord is 686. OpenStax geeft een geldvoorbeeld van dezelfde aanpak. Drie vrienden die naar de bioscoop gaan, hebben elk $9.25 nodig: 9 dollar en 1 kwartje. Drie keer 9 dollar is $27, drie kwartjes zijn 75 cent en het totaal is $27.75. In beide gevallen is één vermenigvuldiging gesplitst in twee gemakkelijkere, waarna de resultaten zijn opgeteld of afgetrokken.

Wat je zojuist gebruikte heeft een naam: distributiviteit. Voor alle getallen a, b en c geldt a(b + c) = ab + ac. De vermenigvuldigingsfactor buiten de haakjes wordt over elke term binnen de haakjes verdeeld. Het bioscoopgeld schrijf je als 3(9 + 0.25) = 3 · 9 + 3 · 0.25 = 27 + 0.75 = 27.75. De hoofdrekentruc schrijf je als 7(100 − 2) = 700 − 14. OpenStax noemt twee andere vormen die uit de eerste volgen: a(b − c) = ab − ac en (b + c)a = ba + ca, omdat de volgorde van factoren een product niet verandert.

De rechthoek als bewijs

Waarom zou de regel voor elk getal gelden en niet alleen voor de twee die we hebben geprobeerd? Teken het. Een rechthoek van 3 eenheden hoog en x + 4 eenheden breed heeft oppervlakte 3(x + 4). Verdeel hem met één verticale lijn op de plek waar het x-deel eindigt. Het linkerstuk is 3 bij x, met oppervlakte 3x. Het rechterstuk is 3 bij 4, met oppervlakte 12. Een rechthoek verdelen verandert niet hoeveel ruimte hij inneemt, dus 3(x + 4) = 3x + 12. De bovenste afbeelding hieronder toont die verdeling. De redenering werkt voor elke breedte x, precies wat een regel voor uitdrukkingen nodig heeft.

Uitwerken met letters en mintekens

Met distributiviteit kun je in de algebra haakjes wegwerken die je met de gewone rekenvolgorde niet kunt uitrekenen. Volgens de regel werk je eerst binnen de haakjes, maar in 3(x + 4) valt daar niets te doen, want x en 4 zijn geen gelijksoortige termen. Verdeel dus de factor: 3 · x + 3 · 4 = 3x + 12. Een uitdrukking zo zonder haakjes schrijven heet uitwerken. Nog meer voorbeelden van OpenStax: 2(x − 3) = 2x − 6, 6(5y + 1) = 30y + 6 en 100(0.3 + 0.25q) = 30 + 25q. De vermenigvuldigingsfactor moet elke term bereiken. Sommige leerlingen tekenen als geheugensteun een pijltje van het getal buiten de haakjes naar elke term erin.

Negatieve vermenigvuldigingsfactoren nemen hun teken mee naar elke term. −2(x − 5) is (−2) · x + (−2) · (−5) = −2x + 10. Een los minteken vóór haakjes betekent −1 keer wat ertussen staat. Dus −(x + 3) = −x − 3 en −(2x − 4) = −2x + 4. Dat is de regel die het vorige hoofdstuk zonder bewijs gebruikte. Voeg na het uitwerken zoals gewoonlijk gelijksoortige termen samen: 4(x + 2) + 3x = 4x + 8 + 3x = 7x + 8. In de grafiekpracticum hieronder kun je zien wat er gebeurt als de vermenigvuldigingsfactor een term overslaat. Je ziet y = 2(x + 3), correct uitgewerkt als 2x + 6, naast de veelgemaakte fout 2x + 3.

Twee haakjes: elke term maal elke term

Met hetzelfde idee kun je een product van twee haakjes uitwerken. Neem in (x + 2)(x + 3) de uitdrukking x + 2 als vermenigvuldigingsfactor en verdeel haar over x + 3: (x + 2)x + (x + 2)3. Verdeel opnieuw: x² + 2x + 3x + 6, en voeg samen: x² + 5x + 6. De onderste rechthoek in de afbeelding toont de vier stukken, één voor elke combinatie van een term uit het eerste haakje met een term uit het tweede. Een snelle controle: bij x = 1 geven de haakjes 3 · 4 = 12 en geeft de uitwerking 1 + 5 + 6 = 12. Twee haakjes met elk twee termen leveren vóór het samenvoegen altijd vier producten op. Tel ze dus als je twijfelt.