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分配法則と括弧の展開

7 · 98は暗算しにくいですが、7 · (100 − 2) = 700 − 14 = 686と書けば計算できます。

読み進める前に、7 · 98を試してみましょう

紙を使わずに7 · 98を計算しましょう。素早くできる人の多くは、98に7を1桁ずつ掛けてはいません。98は100より2少ないと気付き、100の7倍である700から、2の7倍である14を引きます。答えは686です。OpenStaxには同じ工夫をお金で考える例があります。映画に行く3人の友人は、それぞれ$9.25、つまり9ドルと25セント硬貨1枚が必要です。9ドルの3倍は$27、25セント硬貨3枚は75セントなので、合計は$27.75です。どちらの場合も、1つの掛け算を2つの簡単な掛け算に分け、その結果を足したり引いたりしています。

今使ったものには分配法則という名前があります。どんな数a、b、cでも、a(b + c) = ab + acです。括弧の外の掛ける数が、括弧の中の各項に分け与えられる（分配される）のです。映画のお金は3(9 + 0.25) = 3 · 9 + 3 · 0.25 = 27 + 0.75 = 27.75、暗算の工夫は7(100 − 2) = 700 − 14と書けます。OpenStaxは、最初の形から導かれる2つの形も挙げています。a(b − c) = ab − acと、積の順序は関係ないので(b + c)a = ba + caです。

長方形で証明する

試した2つの数だけでなく、すべての数で規則が成り立つのはなぜでしょうか。図にしてみましょう。高さ3単位、幅x + 4単位の長方形の面積は3(x + 4)です。xの部分が終わる位置で、縦の直線を1本引いて切り分けます。左は縦3、横xで面積3x、右は縦3、横4で面積12です。長方形を切っても覆う広さは変わらないので、3(x + 4) = 3x + 12です。下の図の上段が、この切り分けを示しています。この論証はどんな幅xでも成り立ちます。それこそが、式の規則に必要なことです。

上は3×(x + 4)の長方形を3xと12に、下は(x + 2)×(x + 3)の長方形をx²、3x、2x、6の4つに分けたもので、和はx² + 5x + 6です。

文字と負号を含む展開

代数では、計算順序だけでは処理できない括弧を、分配法則によって外せます。計算順序では括弧の中を先に計算しますが、3(x + 4)の中ではxと4が同類項ではないため、それ以上計算できません。そこで分配すると、3 · x + 3 · 4 = 3x + 12です。このように括弧のない式に書き直すことを展開といいます。OpenStaxには、2(x − 3) = 2x − 6、6(5y + 1) = 30y + 6、100(0.3 + 0.25q) = 30 + 25qという例もあります。外の因数はすべての項に掛けなければなりません。忘れないよう、外の数から括弧内の各項へ小さな矢印を引く学習者もいます。

負の掛ける数は、符号ごとすべての項に配られます。−2(x − 5)は(−2) · x + (−2) · (−5) = −2x + 10です。括弧の前にあるだけのマイナス記号は、括弧に−1を掛けることを意味するので、−(x + 3) = −x − 3、−(2x − 4) = −2x + 4となります。これは前の単元が証明なしで使った規則です。展開したあとは、いつものように同類項をまとめます。4(x + 2) + 3x = 4x + 8 + 3x = 7x + 8です。下のグラフの実験室は、掛ける数が項の1つに届かなかったときに何が起きるかを示します。y = 2(x + 3)を正しく展開した2x + 6と、よくある間違いの2x + 3を並べて描きます。

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直線1は2(x + 3)を正しく展開した2x + 6です。直線2は、2が3に掛からなかった間違いの2x + 3です。2本の直線は平行なので、2つの式が同じ値になることはありません。切片2を6まで上にドラッグすると2本は重なります。そのときはじめて、2つの式はすべてのxで等しくなります。

二つの括弧では各項同士を掛ける

同じ考え方で、2つの括弧の積も扱えます。(x + 2)(x + 3)では、x + 2を掛ける側と考え、x + 3の各項へ分配して、(x + 2)x + (x + 2)3とします。もう一度分配するとx² + 2x + 3x + 6となり、まとめるとx² + 5x + 6です。図の下段の長方形は、最初の括弧の項と2番目の括弧の項を1つずつ組み合わせた4つの部分を示しています。簡単に確認すると、x = 1では括弧の式が3 · 4 = 12、展開した式が1 + 5 + 6 = 12です。各括弧に2項ずつあれば、まとめる前には必ず4つの積ができます。不安なときは数えましょう。

  1. 7(100 − 2)を使って7 · 98を計算しましょう。
  2. $9.25の券を3枚買います。3(9 + 0.25)を使って合計を求めましょう。
  3. 3(x + 4)を展開しましょう。
  4. 2(x − 3)を展開しましょう。
  5. 6(5y + 1)を展開しましょう。
  6. −2(x − 5)を展開しましょう。
  7. −(x + 3)を展開しましょう。
  8. 4(x + 2) + 3xを展開してまとめましょう。
  9. 100(0.3 + 0.25q)を展開しましょう。
  10. (x + 2)(x + 3)の展開は？
    • x² + 5x + 6
    • x² + 6
    • x² + 6x + 5
    • 2x + 5
  11. x = 2で3(x + 4)の値は？
  12. 5(a − 4)に等しいのは？
    • 5a − 20
    • 5a − 4
    • a − 20
    • 5a + 20
よくある間違い
  • 「3(x + 4) = 3x + 4です」 3は4にも掛けなければなりません。x = 0のとき、3(x + 4)は12、3x + 4は4です。グラフの実験室では、この2つが決して交わらない平行線になります。
  • 「−2(x − 5) = −2x − 10です」 2番目の積(−2) · (−5)は正なので、−2x + 10です。x = 5で確かめましょう。括弧の中は0なので値も0のはずですが、−10 − 10は0ではありません。
  • 「(x + 3)² = x² + 9です」 (x + 3)²は(x + 3)(x + 3)であり、4つの積ができるので、x² + 3x + 3x + 9 = x² + 6x + 9です。x = 1のとき、括弧の式は16、x² + 9は10です。
先生からひとこと韓国の2022年改訂教育課程では、分配法則は中学校の数に関する用語に含まれ、最初は整数や有理数の計算に使います。その後、代数分野の単項式と多項式の乗法で再び登場し、さらに多項式どうしの乗法や因数分解に進みます。そこでは展開も用語に挙がっています。長方形の面積は小学校で既習なので、面積モデルにはほとんど新しい指導が要りません。よくある理解の穴は、3(x + 4)を展開できても、なぜ3x + 4ではないのかを説明できないことです。両方にx = 0を代入させると、8の差がすぐに現れます。
ポイント
  • 分配法則：a(b + c) = ab + ac、a(b − c) = ab − acです。
  • 掛ける数は括弧の中のすべての項に、符号ごと掛かります：−2(x − 5) = −2x + 10。
  • 括弧の前にあるだけのマイナス記号は−1倍です：−(x + 3) = −x − 3。
  • 2つの括弧からは4つの積ができます：(x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6。
このコースの出典 (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

確認日: 2026-10-19