edubun
Русский
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Главная›Алгебра›Выражения

Распределительное свойство и раскрытие скобок

7 · 98 неудобно считать в уме, пока не запишешь это как 7 · (100 − 2) = 700 − 14 = 686.

Сначала попробуй: 7 · 98

Вычисли 7 · 98 без бумаги. Большинство тех, кто быстро справляется, не умножает 98 на 7 по цифрам. Они замечают, что 98 на 2 меньше 100, берут семь сотен, то есть 700, и вычитают семь двоек, то есть 14. Ответ равен 686. OpenStax приводит денежный вариант того же приёма. Троим друзьям для похода в кино нужно по $9.25, то есть 9 долларов и 1 четвертаку. Трижды 9 долларов равно $27, три четвертака составляют 75 центов, а всего получается $27.75. В обоих случаях одно умножение разделили на два более простых, а результаты сложили или вычли.

Только что ты использовал распределительное свойство. Для любых чисел a, b и c верно a(b + c) = ab + ac. Множитель перед скобками распределяется по каждому слагаемому внутри них. Расчёт денег на кино записывается как 3(9 + 0.25) = 3 · 9 + 3 · 0.25 = 27 + 0.75 = 27.75, а приём для счёта в уме как 7(100 − 2) = 700 − 14. OpenStax приводит ещё две формы, следующие из первой: a(b − c) = ab − ac и (b + c)a = ba + ca, поскольку порядок множителей не влияет на произведение.

Прямоугольник для доказательства

Почему правило должно работать для любого числа, а не только для двух проверенных примеров? Нарисуй его. Прямоугольник высотой 3 единицы и шириной x + 4 имеет площадь 3(x + 4). Разрежь его вертикальной линией там, где заканчивается часть x. Левый кусок имеет размеры 3 на x и площадь 3x, правый — 3 на 4 и площадь 12. Разрезание прямоугольника не меняет занимаемую им площадь, поэтому 3(x + 4) = 3x + 12. На верхнем рисунке ниже показан этот разрез. Рассуждение верно при любой ширине x, что и требуется от правила для выражений.

Сверху: прямоугольник размерами 3 на (x + 4), разделённый на части площадью 3x и 12. Снизу: прямоугольник (x + 2) на (x + 3), разделённый на четыре части: x², 3x, 2x и 6, в сумме дающие x² + 5x + 6.

Раскрытие с буквами и минусами

В алгебре распределительное свойство позволяет раскрывать скобки, с которыми не справляется обычный порядок действий. Правило требует сначала вычислять внутри скобок, но в 3(x + 4) там нечего делать: x и 4 не являются подобными слагаемыми. Поэтому распредели множитель: 3 · x + 3 · 4 = 3x + 12. Такая запись выражения без скобок называется раскрытием скобок. Ещё примеры из OpenStax: 2(x − 3) = 2x − 6, 6(5y + 1) = 30y + 6 и 100(0.3 + 0.25q) = 30 + 25q. Множитель должен попасть к каждому слагаемому. Для напоминания некоторые ученики рисуют маленькую стрелку от числа снаружи к каждому слагаемому внутри.

Отрицательный множитель передаёт свой знак каждому слагаемому. −2(x − 5) равно (−2) · x + (−2) · (−5) = −2x + 10. Один минус перед скобками означает умножение скобок на −1, поэтому −(x + 3) = −x − 3 и −(2x − 4) = −2x + 4. Это правило предыдущий урок использовал без доказательства. После раскрытия скобок приведи подобные слагаемые как обычно: 4(x + 2) + 3x = 4x + 8 + 3x = 7x + 8. Графическая лаборатория ниже показывает, что происходит, если множитель пропускает одно слагаемое. Она строит y = 2(x + 3), правильно раскрываемое как 2x + 6, рядом с частой ошибкой 2x + 3.

Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

Прямая 1 — правильное раскрытие 2(x + 3), 2x + 6. Прямая 2 — ошибка 2x + 3: множитель 2 не достиг 3. Параллельные прямые означают, что значения никогда не совпадают. Подними свободный член 2 до 6: прямые сольются, выражения совпадут при каждом x.

Две скобки: каждый член умножается на каждый

Та же идея позволяет перемножать две скобки. В (x + 2)(x + 3) считай x + 2 множителем и распредели его на x + 3: (x + 2)x + (x + 2)3. Ещё раз раскрой скобки: x² + 2x + 3x + 6, затем приведи подобные слагаемые: x² + 5x + 6. Нижний прямоугольник на рисунке показывает четыре части: по одной для каждой пары слагаемых из первой и второй скобок. Быстрая проверка: при x = 1 скобки дают 3 · 4 = 12, а раскрытое выражение 1 + 5 + 6 = 12. Две скобки с двумя слагаемыми в каждой всегда дают четыре произведения до приведения подобных, поэтому при сомнении пересчитай их.

  1. Вычисли 7 · 98 через 7(100 − 2).
  2. Три билета по $9.25 каждый. Найди общую сумму через 3(9 + 0.25).
  3. Раскрой 3(x + 4).
  4. Раскрой 2(x − 3).
  5. Раскрой 6(5y + 1).
  6. Раскрой −2(x − 5).
  7. Раскрой −(x + 3).
  8. Раскрой и упрости 4(x + 2) + 3x.
  9. Раскрой 100(0.3 + 0.25q).
  10. Как раскрывается (x + 2)(x + 3)?
    • x² + 5x + 6
    • x² + 6
    • x² + 6x + 5
    • 2x + 5
  11. Вычисли 3(x + 4) при x = 2.
  12. Что равно 5(a − 4)?
    • 5a − 20
    • 5a − 4
    • a − 20
    • 5a + 20
Частые ошибки
  • «3(x + 4) = 3x + 4». Число 3 нужно умножить и на 4. При x = 0 выражение 3(x + 4) даёт 12, а 3x + 4 даёт 4. На графиках это параллельные прямые, которые не пересекаются.
  • «−2(x − 5) = −2x − 10». Второе произведение (−2) · (−5) положительно: −2x + 10. При x = 5 скобка равна 0, поэтому и значение должно быть 0, а −10 − 10 не равно 0.
  • «(x + 3)² = x² + 9». (x + 3)² = (x + 3)(x + 3), четыре произведения: x² + 3x + 3x + 9 = x² + 6x + 9. При x = 1 скобка даёт 16, а x² + 9 даёт 10.
Заметка для учителяВ национальной учебной программе Южной Кореи 2022 года распределительное свойство включено в числовые термины средней школы, где сначала применяется при вычислениях с целыми и рациональными числами. Затем оно возвращается в алгебре при умножении одночлена на многочлен, а позже при умножении многочленов и разложении на множители; раскрытие скобок включено в список терминов. Ученики знают площади прямоугольников с начальной школы, поэтому модель площади почти не требует нового материала. Частый пробел: ученик умеет раскрывать 3(x + 4), но не может объяснить, почему это не 3x + 4. Предложи вычислить оба выражения при x = 0: разность 8 обнаружится сразу.
Главное
  • Распределительное свойство: a(b + c) = ab + ac и a(b − c) = ab − ac.
  • Множитель достаётся каждому слагаемому внутри скобок вместе со своим знаком: −2(x − 5) = −2x + 10.
  • Один минус перед скобками — множитель −1: −(x + 3) = −x − 3.
  • Две скобки дают четыре произведения: (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6.
Источники курса (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

Проверено: 2026-10-19