edubun
Русский
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Главная›Алгебра›Выражения

Слагаемые, коэффициенты и подобные слагаемые

При любом x выражение 3x + 5x равно 8x. При x = 7: 21 + 35 = 56 и 8 · 7 = 56.

Проверь выражения, прежде чем доверять правилу

Вот утверждение, которое нужно проверить, а не принимать на веру: 3x + 5x является тем же выражением, что и 8x. «Тем же» имеет точный смысл. Два выражения тождественно равны, если дают одинаковое значение при любом подставленном числе. Проверить все числа невозможно, но несколько можно проверить быстро, а одного несовпадения достаточно, чтобы опровергнуть утверждение. В таблице ниже уже есть пять значений x, выражение 3x + 5x и конкурирующая догадка 8x²: некоторые ученики думают, что сложение двух слагаемых с x даёт x в квадрате. Твоя задача — столбец C.

Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

Столбцы B и D уже заполнены. Введи =8*A2 в C2 и протяни формулу вниз. Столбец C совпадает со столбцом B во всех строках. Столбец D совпадает только при x = 1, а также совпал бы при x = 0. Поэтому одно удачное значение ничего не доказывает.

Таблица показывает это на числах, а объяснение столь же просто выразить словами. 3x означает три раза по x, а 5x — пять раз по x, поэтому вместе получается восемь раз по x при любом x. OpenStax использует апельсины: 3 апельсина и ещё 6 дают 9 апельсинов. Возведения в квадрат не происходит, потому что ничто не умножали на x второй раз. При x = 1 догадка 8x² случайно совпадает с ответом, поскольку 1² = 1. При x = 2 она даёт 32 вместо 16, а при x = 7 даёт 392 вместо 56. Одного несовпадения достаточно.

Названия частей: слагаемые и коэффициенты

Выражение состоит из слагаемых. OpenStax определяет слагаемое как постоянную или произведение постоянной и одной либо нескольких переменных, поэтому 7, y, 5x², 9a и 13xy являются слагаемыми. Число, умножаемое на переменные, называется коэффициентом. В 9b + 15x² + a + 6 слагаемыми являются 9b, 15x², a и 6, а коэффициенты слагаемых с переменными равны 9, 15 и 1. Коэффициент при a равен 1, хотя его не пишут, потому что a = 1 · a. Слагаемое без переменной, например 6, называется свободным членом. Минус в выражении читай как прибавление отрицательного числа: 5x − 3 равно 5x + (−3), поэтому его слагаемые — 5x и −3.

У каждого слагаемого есть также степень, равная числу переменных множителей. Степень 5x равна 1, степень 5x² равна 2, а степень постоянной 6 равна 0. Степень выражения равна наибольшей степени его слагаемых, поэтому 3x² − 5x + 1 имеет степень 2. Выражение с наибольшей степенью 1, например 2x + 7, называется линейным. Линейные выражения встретятся тебе в каждой следующей главе, поскольку из них строятся линейные уравнения и графики-прямые.

Подобные слагаемые: те же буквы в тех же степенях

Слагаемые являются подобными, если содержат одинаковые переменные в одинаковых степенях; все постоянные слагаемые подобны между собой. Среди 5x, 7, n², 4, 3x и 9n² пары подобных слагаемых — 5x и 3x, n² и 9n², 7 и 4. Для этой проверки коэффициенты не важны: важны только буквы и степени. 2x и 2x² не подобны, как и x и xy. Плитки ниже объясняют почему. Плитка x² является большим квадратом, x — длинной полоской, а 1 — маленьким квадратом; вместе можно подсчитывать только плитки одинаковой формы.

Алгебраические плитки. Синие квадраты — это x², зелёные полоски — x, оранжевые квадраты — 1. Две группы, 2x² + 3x + 4 и x² + 2x + 1, рассортированы по форме: 3 квадрата, 5 полосок и 5 маленьких квадратов, поэтому сумма равна 3x² + 5x + 5.

Приведение подобных слагаемых

Чтобы упростить выражение, сложи коэффициенты подобных слагаемых, оставив буквы без изменений. В 3x + 7 + 4x + 5 расположи подобные слагаемые рядом: сложение допускает это, поскольку перестановка не меняет сумму. Получается 3x + 4x + 7 + 5 = 7x + 12. Отрицательные коэффициенты обрабатываются так же, с вычитанием. OpenStax упрощает 7x² + 8x − x² − 4x до 6x² + 4x и останавливается, потому что 6x² и 4x не подобны. Два выражения складывают таким же образом: (5x + 3) + (2x − 4) равно 7x − 1. Минус перед скобками меняет знак каждого члена внутри, поэтому (5x + 3) − (2x − 4) равно 5x + 3 − 2x + 4 = 3x + 7. Следующий урок объясняет это через распределительное свойство.

  1. Какое слагаемое подобно 5x?
    • −2x
    • 5x²
    • 5
    • 5y
  2. Каков коэффициент a в 9b + 15x² + a + 6?
  3. Каков коэффициент x в 4 − x?
  4. Какова степень 3x² − 5x + 1?
  5. Упрости 3x + 6x.
  6. Упрости 3x + 7 + 4x + 5.
  7. Упрости 7x² + 8x − x² − 4x.
  8. Упрости 2a + 3b − a + 4b.
  9. Упрости (5x + 3) − (2x − 4).
  10. После приведения подобных слагаемых в 4x² + 2x + 5x² + 6x + 40x + 8xy сколько слагаемых останется?
  11. 3x + 5x и 8x² равны 8 при x = 1. Они тождественно равны?
    • Нет: при x = 2 дают 16 и 32
    • Да: совпадают при x = 1
    • Да: коэффициент у обоих 8
    • Только при положительном x
Частые ошибки
  • «3x + 5 = 8x». 3x и 5 не являются подобными слагаемыми, поэтому сложить их в одно слагаемое нельзя. При x = 2 левая часть равна 11, а 8x равно 16. Выражение 3x + 5 уже записано в простейшем виде.
  • «2x + 3x = 5x², ведь x и x дают x²». Сложение подсчитывает x, а не перемножает их. 2x + 3x = 5x. Только x · x даёт x².
  • «5x − (2x − 4) = 3x − 4». Минус перед скобкой относится к обоим слагаемым внутри: −(2x − 4) = −2x + 4. Ответ: 3x + 4.
Заметка для учителяВ национальной учебной программе Южной Кореи 2022 года сложение и вычитание линейных выражений относится к стандарту средней школы: ученики должны понимать принцип, а не только выполнять вычисления. Позже он распространяется на многочлены. В список терминов входят слагаемое, свободный член, коэффициент, степень, линейное выражение и подобные слагаемые. Плитки делают принцип наглядным, а электронная таблица выше показывает его на числах. Ученики, увидевшие совпадение 8x² с 3x + 5x при x = 1 и несовпадение при x = 2, запоминают, что один пример никогда не доказывает равенство выражений. Предложи им выбирать собственные значения для проверки, избегая 0 и 1.
Главное
  • Тождественно равные выражения совпадают при каждом x; контрпример показывает различие.
  • Слагаемые соединены знаком + (минус читай как прибавление отрицательного). Число впереди — коэффициент.
  • У подобных слагаемых одинаковые буквы в одинаковых степенях; постоянные слагаемые подобны между собой.
  • Приводи подобные слагаемые, складывая коэффициенты: 3x + 7 + 4x + 5 = 7x + 12.
Источники курса (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

Проверено: 2026-10-19