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Accueil›Algèbre›Expressions

Termes, coefficients et termes semblables

Remplace x par n'importe quel nombre : 3x + 5x donne la même valeur que 8x. Pour x = 7, on a 21 + 35 = 56 et 8 · 7 = 56.

Teste deux expressions avant de croire une règle

Voici une affirmation à vérifier : 3x + 5x est la même expression que 8x. « La même » a un sens précis. Deux expressions sont équivalentes si elles donnent la même valeur pour tout nombre substitué. Impossible de tous les tester, mais on en teste vite plusieurs, et un seul échec suffit à réfuter l'affirmation. Le tableau contient déjà cinq valeurs de x, 3x + 5x et une proposition concurrente, 8x², écrite quand on croit que deux termes en x donnent x au carré. Ta tâche est la colonne C.

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Les colonnes B et D sont remplies. Saisis =8*A2 en C2 et recopie vers le bas. C correspond à B sur chaque ligne. D ne correspond que pour x = 1 et correspondrait aussi pour x = 0 : une valeur chanceuse ne prouve rien.

Le tableau montre les nombres, et l'explication est tout aussi simple. 3x désigne trois fois x et 5x cinq fois x ; ensemble, huit fois x, quel que soit x. OpenStax prend des oranges : 3 oranges et 6 de plus font 9 oranges. Rien n'est élevé au carré, puisqu'on n'a pas multiplié une seconde fois par x. Pour x = 1, 8x² coïncide par hasard, car 1² = 1. Pour x = 2, cela donne 32 au lieu de 16 ; pour x = 7, 392 au lieu de 56. Une seule différence suffit.

Nommer les parties : termes et coefficients

Une expression est composée de termes. OpenStax définit un terme comme une constante ou son produit par une ou plusieurs variables : 7, y, 5x², 9a et 13xy sont des termes. Le nombre multipliant les variables est le coefficient. Dans 9b + 15x² + a + 6, les termes sont 9b, 15x², a et 6 ; les coefficients des termes variables sont 9, 15 et 1. Celui de a vaut 1 même s'il n'est pas écrit, car a = 1 · a. Un terme sans variable, comme 6, est constant. Lis un moins comme l'addition d'un négatif : 5x − 3 est 5x + (−3), de termes 5x et −3.

Chaque terme a un degré, le nombre de facteurs variables qu'il contient. 5x est de degré 1, 5x² degré 2 et la constante 6 degré 0. Le degré d'une expression est le plus élevé de ses termes : 3x² − 5x + 1 est de degré 2. Une expression dont le degré maximal est 1, comme 2x + 7, est du premier degré. Tu en retrouveras dans les chapitres suivants : elles forment les équations du premier degré et les graphiques de droites.

Les termes semblables ont les mêmes lettres aux mêmes puissances

Des termes sont semblables s'ils ont les mêmes variables avec les mêmes exposants ; tous les termes constants le sont entre eux. Parmi 5x, 7, n², 4, 3x et 9n², les paires sont 5x avec 3x, n² avec 9n² et 7 avec 4. Les coefficients ne comptent pas ici, seulement les lettres et puissances. 2x et 2x² ne sont pas semblables, ni x et xy. Les tuiles l'illustrent : x² est un grand carré, x une bande et 1 un petit carré ; seules les formes identiques se comptent ensemble.

Tuiles algébriques. Les carrés bleus valent x², les bandes vertes x et les carrés orange 1. Deux groupes, 2x² + 3x + 4 et x² + 2x + 1, sont classés par forme : 3 carrés, 5 bandes et 5 petits carrés ; somme 3x² + 5x + 5.

Réduire les termes semblables

Pour simplifier, additionne les coefficients des termes semblables en gardant les lettres. Dans 3x + 7 + 4x + 5, rapproche-les : l'ordre ne change pas une somme, donc 3x + 4x + 7 + 5 = 7x + 12. Les coefficients négatifs suivent la même règle. OpenStax simplifie 7x² + 8x − x² − 4x en 6x² + 4x et s'arrête : ces deux termes ne sont pas semblables. Même méthode avec deux expressions : (5x + 3) + (2x − 4) donne 7x − 1. Un moins devant les parenthèses change chaque signe intérieur : (5x + 3) − (2x − 4) devient 5x + 3 − 2x + 4 = 3x + 7. Tu le justifieras ensuite avec la distributivité.

  1. Quel terme est semblable à 5x ?
    • −2x
    • 5x²
    • 5
    • 5y
  2. Quel est le coefficient de a dans 9b + 15x² + a + 6 ?
  3. Quel est le coefficient de x dans 4 − x ?
  4. Quel est le degré de 3x² − 5x + 1 ?
  5. Simplifie 3x + 6x.
  6. Simplifie 3x + 7 + 4x + 5.
  7. Simplifie 7x² + 8x − x² − 4x.
  8. Simplifie 2a + 3b − a + 4b.
  9. Simplifie (5x + 3) − (2x − 4).
  10. Après réduction de 4x² + 2x + 5x² + 6x + 40x + 8xy, combien reste-t-il de termes ?
  11. 3x + 5x et 8x² valent 8 pour x = 1. Sont-elles équivalentes ?
    • Non : pour x = 2, elles donnent 16 et 32
    • Oui : elles coïncident pour x = 1
    • Oui : toutes deux ont un coefficient 8
    • Seulement pour x positif
Erreurs fréquentes
  • « 3x + 5 = 8x. » 3x et 5 ne sont pas semblables, donc ne se regroupent pas en un terme. Pour x = 2, le membre gauche vaut 11 et 8x vaut 16. 3x + 5 est déjà simplifiée au maximum.
  • « 2x + 3x = 5x², car x et x font x². » Additionner compte les x, sans les multiplier. 2x + 3x = 5x. Seul x · x vaut x².
  • « 5x − (2x − 4) = 3x − 4. » Le moins placé devant la parenthèse s'applique aux deux termes qu'elle contient : −(2x − 4) = −2x + 4. La réponse est 3x + 4.
Note du professeurDans le programme national coréen de 2022, additionner et soustraire des expressions du premier degré est un objectif du collège : on doit comprendre le principe et calculer. Un autre l'étend aux polynômes. La liste comprend terme, terme constant, coefficient, degré, expression du premier degré et termes semblables. Les tuiles montrent le principe ; un tableur le montre avec des nombres. Voir 8x² coïncider avec 3x + 5x pour x = 1 mais pas x = 2 rappelle qu'un exemple ne prouve jamais l'égalité de deux expressions. Fais choisir des valeurs de test, en évitant 0 et 1.
L'essentiel
  • Des expressions équivalentes donnent la même valeur pour tout x ; un contre-exemple montre leur différence.
  • Les termes sont reliés par + (lis − comme ajouter un négatif). Le nombre devant est le coefficient.
  • Les termes semblables ont les mêmes lettres aux mêmes puissances ; les constantes sont semblables entre elles.
  • Réduis en additionnant les coefficients : 3x + 7 + 4x + 5 = 7x + 12.
Sources de ce cours (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

Consulté le: 2026-10-19