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Accueil›Algèbre›Expressions

La distributivité et le développement des parenthèses

7 · 98 est difficile de tête jusqu'à ce qu'on l'écrive 7 · (100 − 2) = 700 − 14 = 686.

Essaie avant de continuer : 7 · 98

Calcule 7 · 98 sans papier. Ceux qui réussissent vite ne multiplient généralement pas chiffre par chiffre. Ils voient qu'il manque 2 à 98 pour atteindre 100, prennent sept centaines, 700, puis enlèvent sept fois deux, 14. Réponse : 686. OpenStax donne une version monétaire : trois amis vont au cinéma, chacun avec 9.25 $, soit 9 dollars et 1 pièce de vingt-cinq cents. Trois fois 9 dollars font 27 $ ; trois pièces de vingt-cinq cents font 75 cents ; total 27.75. $ Dans les deux cas, une multiplication est divisée en deux plus faciles, puis on additionne ou soustrait les résultats.

Ce que tu viens d'utiliser s'appelle la distributivité. Pour tous nombres a, b, c, a(b + c) = ab + ac. Le facteur extérieur se distribue à chaque terme intérieur. Pour le cinéma : 3(9 + 0.25) = 3 · 9 + 3 · 0.25 = 27 + 0.75 = 27.75 ; de tête : 7(100 − 2) = 700 − 14. OpenStax donne deux formes qui en découlent : a(b − c) = ab − ac et (b + c)a = ba + ca, car l'ordre des facteurs ne change pas le produit.

Le rectangle qui permet de le démontrer

Pourquoi la règle vaut-elle pour tous les nombres, pas seulement nos deux essais ? Dessine. Un rectangle de hauteur 3 et de largeur x + 4 a pour aire 3(x + 4). Coupe-le verticalement à la fin de la partie x. À gauche, 3 par x donne 3x ; à droite, 3 par 4 donne 12. Couper ne change pas l'espace occupé, donc 3(x + 4) = 3x + 12. Le dessin supérieur montre cette coupe. Cela vaut pour toute largeur x, exactement ce qu'exige une règle sur les expressions.

En haut : rectangle de 3 par (x + 4) séparé en 3x et 12. En bas : rectangle de (x + 2) par (x + 3), séparé en x², 3x, 2x et 6, de somme x² + 5x + 6.

Développer avec lettres et signes moins

La distributivité permet d'enlever des parenthèses que les priorités ne résolvent pas. On devrait calculer dedans d'abord, mais dans 3(x + 4), x et 4 ne sont pas semblables. Distribue donc : 3 · x + 3 · 4 = 3x + 12. Cette écriture sans parenthèses est un développement. Exemples d'OpenStax : 2(x − 3) = 2x − 6, 6(5y + 1) = 30y + 6 et 100(0.3 + 0.25q) = 30 + 25q. Le multiplicateur doit atteindre tous les termes. Certains tracent une flèche du nombre extérieur à chaque terme pour s'en souvenir.

Un multiplicateur négatif porte son signe à chaque terme. −2(x − 5) donne (−2) · x + (−2) · (−5) = −2x + 10. Un moins seul signifie −1 fois la parenthèse : −(x + 3) = −x − 3 et −(2x − 4) = −2x + 4, règle utilisée précédemment sans preuve. Réduis ensuite : 4(x + 2) + 3x = 4x + 8 + 3x = 7x + 8. Dans le laboratoire ci-dessous, compare y = 2(x + 3), bien développée en 2x + 6, avec l'erreur 2x + 3, où un terme a échappé au multiplicateur.

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La droite 1 correspond au bon développement de 2(x + 3), soit 2x + 6. La droite 2 correspond à 2x + 3, où le 2 n'a pas multiplié le 3. Elles sont parallèles : les expressions n'ont jamais la même valeur. Fais monter l'ordonnée à l'origine de la droite 2 jusqu'à 6 : elles se confondent, et les expressions sont alors égales pour tout x.

Deux parenthèses : chaque terme avec chaque terme

La même idée traite un produit de parenthèses. Dans (x + 2)(x + 3), prends x + 2 comme multiplicateur et distribue-le sur x + 3 : (x + 2)x + (x + 2)3. Distribue encore : x² + 2x + 3x + 6, puis réduis : x² + 5x + 6. Le rectangle inférieur montre les quatre pièces, une par paire de termes des deux parenthèses. Vérifie pour x = 1 : les parenthèses donnent 3 · 4 = 12 et le développement 1 + 5 + 6 = 12. Deux parenthèses à deux termes donnent toujours quatre produits avant réduction ; compte-les en cas de doute.

  1. Calcule 7 · 98 avec 7(100 − 2).
  2. Trois billets à 9.25 $ chacun. Utilise 3(9 + 0.25) pour le total.
  3. Développe 3(x + 4).
  4. Développe 2(x − 3).
  5. Développe 6(5y + 1).
  6. Développe −2(x − 5).
  7. Développe −(x + 3).
  8. Développe et réduis 4(x + 2) + 3x.
  9. Développe 100(0.3 + 0.25q).
  10. Quel est le développement de (x + 2)(x + 3) ?
    • x² + 5x + 6
    • x² + 6
    • x² + 6x + 5
    • 2x + 5
  11. Évalue 3(x + 4) pour x = 2.
  12. Quelle expression égale 5(a − 4) ?
    • 5a − 20
    • 5a − 4
    • a − 20
    • 5a + 20
Erreurs fréquentes
  • « 3(x + 4) = 3x + 4. » Le 3 doit aussi multiplier le 4. Pour x = 0, 3(x + 4) vaut 12 et 3x + 4 vaut 4. Le laboratoire montre deux parallèles qui ne se rencontrent jamais.
  • « −2(x − 5) = −2x − 10. » Le second produit est (−2) · (−5), positif : −2x + 10. Vérifie pour x = 5 : la parenthèse vaut 0, donc le résultat doit être 0, et −10 − 10 ne vaut pas 0.
  • « (x + 3)² = x² + 9. » (x + 3)² est (x + 3)(x + 3), soit quatre produits : x² + 3x + 3x + 9 = x² + 6x + 9. Pour x = 1, la parenthèse donne 16 et x² + 9 donne 10.
Note du professeurLe programme national coréen de 2022 range la distributivité parmi les termes numériques du collège, où elle sert d'abord aux calculs avec les entiers et les nombres rationnels. Elle revient dans le domaine de l'algèbre avec la multiplication d'un monôme par un polynôme, puis avec la multiplication des polynômes et la factorisation, où développer figure parmi les termes listés. Les élèves connaissent déjà les aires de rectangles depuis le primaire ; le modèle de l'aire demande donc presque aucun enseignement nouveau. Une lacune fréquente : les élèves savent développer 3(x + 4) mais ne savent pas expliquer pourquoi 3(x + 4) n'est pas 3x + 4. Fais-leur évaluer les deux expressions pour x = 0 ; la différence de 8 apparaît aussitôt.
L'essentiel
  • Distributivité : a(b + c) = ab + ac et a(b − c) = ab − ac.
  • Le multiplicateur atteint tous les termes avec son signe : −2(x − 5) = −2x + 10.
  • Un moins seul devant les parenthèses signifie −1 fois leur contenu : −(x + 3) = −x − 3.
  • Deux parenthèses donnent quatre produits : (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6.
Sources de ce cours (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

Consulté le: 2026-10-19