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Propriedade distributiva e desenvolvimento de parênteses

7 · 98 é difícil de cabeça até você escrever 7 · (100 − 2) = 700 − 14 = 686.

Tente antes de continuar: 7 · 98

Calcule 7 · 98 sem papel. Quem faz rápido geralmente não multiplica 98 por 7 algarismo por algarismo. Percebe que faltam 2 para 100, toma sete centenas, 700, e tira sete vezes dois, 14. A resposta é 686. A OpenStax apresenta uma versão com dinheiro. Três amigos vão ao cinema e cada um precisa de $9.25: 9 dólares e 1 moeda de vinte e cinco centavos. Três vezes 9 dólares são $27; três moedas de vinte e cinco são 75 centavos; o total é $27.75. Nos dois casos, dividiu-se uma multiplicação em duas mais fáceis e somaram-se ou subtraíram-se os resultados.

O que você usou tem nome: propriedade distributiva. Para quaisquer números a, b e c, a(b + c) = ab + ac. O multiplicador de fora é distribuído a cada termo de dentro. O dinheiro do cinema fica 3(9 + 0.25) = 3 · 9 + 3 · 0.25 = 27 + 0.75 = 27.75; a conta mental fica 7(100 − 2) = 700 − 14. A OpenStax lista outras duas formas decorrentes: a(b − c) = ab − ac e (b + c)a = ba + ca, pois a ordem dos fatores não altera o produto.

O retângulo que permite demonstrar

Por que a regra vale para todos os números, não só os dois exemplos? Desenhe. Um retângulo de altura 3 e largura x + 4 tem área 3(x + 4). Corte com uma linha vertical onde termina a parte x. A peça esquerda mede 3 por x, com área 3x; a direita mede 3 por 4, com área 12. Cortar não muda o espaço coberto, então 3(x + 4) = 3x + 12. A figura superior abaixo mostra o corte. O argumento vale para qualquer largura x, exatamente o que uma regra de expressões exige.

Em cima: retângulo de 3 por (x + 4) dividido em 3x e 12. Embaixo: retângulo de (x + 2) por (x + 3) dividido em x², 3x, 2x e 6, que somam x² + 5x + 6.

Desenvolvendo com letras e sinais menos

Na álgebra, com a distributiva você elimina parênteses que a ordem das operações não resolve. A regra pede calcular dentro primeiro, mas em 3(x + 4) não há o que fazer ali, pois x e 4 não são semelhantes. Distribua: 3 · x + 3 · 4 = 3x + 12. Escrever assim sem os parênteses é desenvolver. Outros exemplos da OpenStax: 2(x − 3) = 2x − 6, 6(5y + 1) = 30y + 6 e 100(0.3 + 0.25q) = 30 + 25q. O multiplicador deve chegar a todos os termos. Alguns estudantes desenham uma seta do número de fora a cada termo de dentro para lembrar.

Multiplicadores negativos levam o sinal a todos os termos. −2(x − 5) é (−2) · x + (−2) · (−5) = −2x + 10. Um menos sozinho antes do parêntese significa −1 vezes ele: −(x + 3) = −x − 3 e −(2x − 4) = −2x + 4, regra usada antes sem demonstração. Depois, reduza semelhantes: 4(x + 2) + 3x = 4x + 8 + 3x = 7x + 8. No laboratório de gráficos abaixo, veja o que acontece quando o multiplicador não chega a um termo: compare y = 2(x + 3), corretamente desenvolvida como 2x + 6, com o erro comum 2x + 3.

Carregando

Arraste para girar. Use a rolagem ou afaste e aproxime dois dedos para ajustar o zoom.

A reta 1 é 2(x + 3) desenvolvida corretamente: 2x + 6. A reta 2 é o erro 2x + 3, em que o 2 não multiplicou o 3. São paralelas, então as expressões nunca têm o mesmo valor. Arraste Coef. linear 2 até 6 e elas coincidem: só então as expressões são iguais para todo x.

Dois parênteses: cada termo com cada termo

A mesma ideia resolve o produto de dois parênteses. Em (x + 2)(x + 3), tome x + 2 como multiplicador e distribua sobre x + 3: (x + 2)x + (x + 2)3. Distribua de novo: x² + 2x + 3x + 6; reduza: x² + 5x + 6. No retângulo inferior, há uma peça para cada par entre um termo do primeiro parêntese e um do segundo. Confira: com x = 1, os parênteses dão 3 · 4 = 12, e o desenvolvimento dá 1 + 5 + 6 = 12. Dois parênteses de dois termos sempre dão quatro produtos antes da redução; conte-os se tiver dúvida.

  1. Calcule 7 · 98 usando 7(100 − 2).
  2. Três ingressos de $9.25 cada. Use 3(9 + 0.25) para achar o total.
  3. Desenvolva 3(x + 4).
  4. Desenvolva 2(x − 3).
  5. Desenvolva 6(5y + 1).
  6. Desenvolva −2(x − 5).
  7. Desenvolva −(x + 3).
  8. Desenvolva e simplifique 4(x + 2) + 3x.
  9. Desenvolva 100(0.3 + 0.25q).
  10. Qual é o desenvolvimento de (x + 2)(x + 3)?
    • x² + 5x + 6
    • x² + 6
    • x² + 6x + 5
    • 2x + 5
  11. Calcule 3(x + 4) com x = 2.
  12. Qual é igual a 5(a − 4)?
    • 5a − 20
    • 5a − 4
    • a − 20
    • 5a + 20
Erros comuns
  • “3(x + 4) = 3x + 4.” O 3 precisa multiplicar o 4 também. Com x = 0, 3(x + 4) é 12 e 3x + 4 é 4. No laboratório de gráficos, você vê as duas como retas paralelas que nunca se encontram.
  • “−2(x − 5) = −2x − 10.” O segundo produto é (−2) · (−5), positivo: −2x + 10. Confira com x = 5: o parêntese é 0, então o valor deve ser 0, e −10 − 10 não é 0.
  • “(x + 3)² = x² + 9.” (x + 3)² é (x + 3)(x + 3), que dá quatro produtos: x² + 3x + 3x + 9 = x² + 6x + 9. Com x = 1, o parêntese dá 16 e x² + 9 dá 10.
Nota do professorO currículo nacional coreano de 2022 lista a distributiva entre os termos numéricos dos anos finais, primeiro nos cálculos com inteiros e racionais. Ela volta na álgebra ao multiplicar monômios por polinômios e, depois, na multiplicação e fatoração de polinômios, onde desenvolvimento é um termo listado. Como áreas de retângulos já são conhecidas da escola primária, o modelo exige quase nada de novo. Uma dificuldade comum é desenvolver 3(x + 4) sem explicar por que não é 3x + 4. Peça que calculem as duas com x = 0; a diferença de 8 aparece imediatamente.
Pontos-chave
  • Propriedade distributiva: a(b + c) = ab + ac e a(b − c) = ab − ac.
  • O multiplicador chega a todos os termos com seu sinal: −2(x − 5) = −2x + 10.
  • Um menos sozinho antes do parêntese é −1 vezes ele: −(x + 3) = −x − 3.
  • Dois parênteses dão quatro produtos: (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6.
Fontes deste curso (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

Data de verificação: 2026-10-19