Proprietà distributiva e sviluppo delle parentesi

7 · 98 è scomodo da fare a mente, finché non lo scrivi come 7 · (100 − 2) = 700 − 14 = 686.

Prova prima di leggere: 7 · 98

Calcola 7 · 98 senza carta. Chi ci riesce in fretta di solito non moltiplica 98 per 7 cifra per cifra: nota che 98 è 2 meno di 100, prende sette centinaia, cioè 700, e toglie sette volte due, cioè 14. La risposta è 686. OpenStax propone una versione con i soldi dello stesso trucco. Tre amici che vanno al cinema hanno bisogno ciascuno di $9.25, cioè 9 dollari e 1 quarto di dollaro. Tre volte 9 dollari fanno $27, tre quarti di dollaro fanno 75 centesimi, e il totale è $27.75. In entrambi i casi una moltiplicazione è stata divisa in due più facili e i risultati sono stati sommati o sottratti.

Ciò che hai appena usato ha un nome: proprietà distributiva. Per qualsiasi numero a, b e c, a(b + c) = ab + ac. Il fattore fuori dalla parentesi viene ripartito, o distribuito, a ogni termine all'interno. I soldi del cinema si scrivono 3(9 + 0.25) = 3 · 9 + 3 · 0.25 = 27 + 0.75 = 27.75 e il trucco di calcolo mentale si scrive 7(100 − 2) = 700 − 14. OpenStax elenca altre due forme che seguono dalla prima: a(b − c) = ab − ac e (b + c)a = ba + ca, poiché l'ordine dei fattori non cambia il prodotto.

Il rettangolo che lo dimostra

Perché la regola dovrebbe valere per ogni numero, e non solo per i due che abbiamo provato? Disegnala. Un rettangolo alto 3 unità e largo x + 4 unità ha area 3(x + 4). Taglialo con una linea verticale dove finisce la parte x. Il pezzo di sinistra misura 3 per x, area 3x, e il pezzo di destra misura 3 per 4, area 12. Tagliare un rettangolo non cambia la superficie che occupa, quindi 3(x + 4) = 3x + 12. La figura in alto qui sotto mostra questo taglio. Il ragionamento vale per qualsiasi larghezza x, ed è proprio ciò che serve a una regola sulle espressioni.

Sviluppare con lettere e segni meno

In algebra la proprietà distributiva elimina parentesi che l'ordine delle operazioni non permette di risolvere. La regola dice di lavorare prima all'interno della parentesi, ma in 3(x + 4) non c'è nulla da fare lì, perché x e 4 non sono termini simili. Quindi distribuisci: 3 · x + 3 · 4 = 3x + 12. Scrivere così un'espressione senza le sue parentesi si chiama sviluppare. Altri esempi da OpenStax: 2(x − 3) = 2x − 6, 6(5y + 1) = 30y + 6 e 100(0.3 + 0.25q) = 30 + 25q. Il fattore deve raggiungere ogni termine. Alcuni studenti disegnano una piccola freccia dal numero esterno a ogni termine interno per ricordarselo.

Un fattore negativo porta il proprio segno a ogni termine. −2(x − 5) è (−2) · x + (−2) · (−5) = −2x + 10. Un meno da solo davanti a una parentesi significa −1 per la parentesi, quindi −(x + 3) = −x − 3 e −(2x − 4) = −2x + 4, che è la regola usata senza dimostrazione nell'unità precedente. Dopo lo sviluppo, riduci i termini simili come al solito: 4(x + 2) + 3x = 4x + 8 + 3x = 7x + 8. Il laboratorio dei grafici qui sotto mostra cosa succede se il fattore salta un termine. Disegna y = 2(x + 3), sviluppata correttamente come 2x + 6, accanto all'errore comune 2x + 3.

Due parentesi: ogni termine per ogni termine

La stessa idea permette di trattare un prodotto di due parentesi. In (x + 2)(x + 3), considera x + 2 come fattore e distribuiscilo su x + 3: (x + 2)x + (x + 2)3. Distribuisci ancora: x² + 2x + 3x + 6, poi raccogli i termini simili: x² + 5x + 6. Il rettangolo inferiore nella figura mostra i quattro pezzi, uno per ogni abbinamento di un termine della prima parentesi con un termine della seconda. Una verifica rapida: per x = 1 le parentesi danno 3 · 4 = 12 e lo sviluppo dà 1 + 5 + 6 = 12. Due parentesi con due termini ciascuna producono sempre quattro prodotti prima della riduzione, quindi contali se hai dubbi.