Distributivgesetz und Ausmultiplizieren

7 · 98 geht schwer im Kopf, bis du 7 · (100 − 2) = 700 − 14 = 686 schreibst.

Versuch zuerst: 7 · 98

Rechne 7 · 98 ohne Papier. Schnelle Rechner multiplizieren meist nicht Ziffer für Ziffer. Sie sehen, dass 98 um 2 unter 100 liegt, nehmen sieben Hunderter, 700, und ziehen sieben Zweier, 14, ab. Ergebnis 686. OpenStax nimmt Geld: Drei Freunde brauchen fürs Kino jeweils 9.25 Dollar, also 9 Dollar und 1 Vierteldollarmünze. Dreimal 9 Dollar sind 27 Dollar, drei Vierteldollar sind 75 Cent, insgesamt 27.75 Dollar. Jeweils wird eine Multiplikation in zwei leichtere zerlegt und deren Ergebnisse addiert oder subtrahiert.

Was du gerade benutzt hast, hat einen Namen: das Distributivgesetz. Für beliebige Zahlen a, b und c gilt a(b + c) = ab + ac. Der Faktor vor der Klammer wird auf jedes Glied in der Klammer verteilt. Das Kinogeld lautet 3(9 + 0.25) = 3 · 9 + 3 · 0.25 = 27 + 0.75 = 27.75, und der Kopfrechentrick lautet 7(100 − 2) = 700 − 14. OpenStax nennt zwei weitere Formen, die sich aus der ersten ergeben: a(b − c) = ab − ac und (b + c)a = ba + ca, denn die Reihenfolge der Faktoren ändert das Produkt nicht.

Das Rechteck als Beweis

Warum sollte die Regel für jede Zahl gelten und nicht nur für die beiden Beispiele, die wir probiert haben? Zeichne es. Ein Rechteck, das 3 Einheiten hoch und x + 4 Einheiten breit ist, hat die Fläche 3(x + 4). Zerschneide es mit einem senkrechten Schnitt dort, wo der Teil x endet. Das linke Stück misst 3 mal x und hat die Fläche 3x, das rechte Stück misst 3 mal 4 und hat die Fläche 12. Das Zerschneiden eines Rechtecks ändert nicht, wie viel Fläche es bedeckt, also gilt 3(x + 4) = 3x + 12. Die obere Zeichnung unten zeigt diesen Schnitt. Die Begründung funktioniert für jede Breite x, und genau das braucht eine Regel über Terme.

Ausmultiplizieren mit Buchstaben und Minuszeichen

In der Algebra löst das Distributivgesetz Klammern auf, die die Rechenreihenfolge nicht öffnen kann. Die Regel sagt, dass man zuerst in der Klammer rechnet, aber in 3(x + 4) gibt es dort nichts zu tun, weil x und 4 keine gleichartigen Glieder sind. Also verteilst du: 3 · x + 3 · 4 = 3x + 12. Einen Term auf diese Weise ohne seine Klammern zu schreiben, nennt man Ausmultiplizieren. Weitere Beispiele aus OpenStax: 2(x − 3) = 2x − 6, 6(5y + 1) = 30y + 6 und 100(0.3 + 0.25q) = 30 + 25q. Der Faktor vor der Klammer muss jedes Glied erreichen. Manche Lernende zeichnen als Erinnerung einen kleinen Pfeil von der äußeren Zahl zu jedem Glied in der Klammer.

Negative Faktoren übertragen ihr Vorzeichen auf jedes Glied. −2(x − 5) ist (−2) · x + (−2) · (−5) = −2x + 10. Ein einzelnes Minuszeichen vor einer Klammer bedeutet −1 mal die Klammer, also gilt −(x + 3) = −x − 3 und −(2x − 4) = −2x + 4. Das ist die Regel, die die vorige Einheit ohne Beweis benutzt hat. Nach dem Ausmultiplizieren fasst du gleichartige Glieder wie gewohnt zusammen: 4(x + 2) + 3x = 4x + 8 + 3x = 7x + 8. Das Graphen-Labor unten zeigt, was passiert, wenn der Faktor ein Glied verfehlt. Es zeichnet y = 2(x + 3), das richtig als 2x + 6 ausmultipliziert ist, neben dem häufigen Fehler 2x + 3.

Zwei Klammern: Jedes Glied mit jedem

Dieselbe Idee behandelt auch ein Produkt aus zwei Klammern. In (x + 2)(x + 3) betrachtest du x + 2 als den Faktor und verteilst ihn auf x + 3: (x + 2)x + (x + 2)3. Verteile noch einmal: x² + 2x + 3x + 6, und fasse zusammen: x² + 5x + 6. Das untere Rechteck in der Abbildung zeigt die vier Teile, je einen für jede Paarung eines Glieds der ersten Klammer mit einem Glied der zweiten. Eine schnelle Probe: Bei x = 1 ergeben die Klammern 3 · 4 = 12, und das Ausmultiplizierte ergibt 1 + 5 + 6 = 12. Zwei Klammern mit je zwei Gliedern ergeben vor dem Zusammenfassen immer vier Produkte, zähle sie also nach, wenn du unsicher bist.