Glieder, Koeffizienten und gleichartige Glieder

Setze für x eine beliebige Zahl ein: 3x + 5x ergibt immer 8x. Bei x = 7 gilt 21 + 35 = 56 und 8 · 7 = 56.

Teste zwei Terme, bevor du einer Regel vertraust

Hier ist eine Behauptung, die du prüfen statt einfach glauben sollst: 3x + 5x ist derselbe Term wie 8x. „Derselbe“ hat dabei eine genaue Bedeutung. Zwei Terme sind gleichwertig, wenn sie für jede eingesetzte Zahl denselben Wert ergeben. Jede Zahl zu testen ist unmöglich, aber einige zu testen geht schnell, und ein einziger Fehlschlag genügt, um eine Behauptung zu widerlegen. Die Tabelle unten enthält bereits fünf Werte von x, den Term 3x + 5x und eine konkurrierende Vermutung, 8x². Manche Lernende schreiben sie hin, weil sie meinen, die Addition zweier x-Glieder müsse x zum Quadrat ergeben. Deine Aufgabe ist Spalte C.

Die Tabelle zeigt es mit Zahlen, und der Grund dahinter ist in Worten ebenso einfach. 3x bedeutet dreimal x und 5x fünfmal x, also sind es zusammen achtmal x, was auch immer x ist. OpenStax verwendet Orangen: 3 Orangen und 6 weitere Orangen ergeben 9 Orangen. Quadriert wird hier nie, denn nichts wurde ein zweites Mal mit x multipliziert. Bei x = 1 stimmt die Vermutung 8x² zufällig überein, weil 1² = 1 ist. Bei x = 2 ergibt sie 32 statt 16, und bei x = 7 ergibt sie 392 statt 56. Eine einzige Abweichung genügt.

Die Teile benennen: Glieder und Koeffizienten

Ein Term besteht aus Gliedern. OpenStax definiert ein Glied als Konstante oder Produkt einer Konstanten mit einer oder mehreren Variablen. Beispiele sind 7, y, 5x², 9a und 13xy. Der Zahlenfaktor heißt Koeffizient. In 9b + 15x² + a + 6 sind die Glieder 9b, 15x², a und 6; die Koeffizienten der Variablenglieder sind 9, 15 und 1. Bei a wird die 1 nicht geschrieben, denn a = 1 · a. Ohne Variable, etwa bei 6, heißt es konstantes Glied. Lies Minus als Addition einer negativen Zahl: 5x − 3 ist 5x + (−3), mit Gliedern 5x und −3.

Jedes Glied hat außerdem einen Grad, nämlich die Anzahl seiner Variablenfaktoren. 5x hat den Grad 1, 5x² hat den Grad 2, und die Konstante 6 hat den Grad 0. Der Grad eines Terms ist der höchste Grad seiner Glieder, also hat 3x² − 5x + 1 den Grad 2. Ein Term, dessen höchster Grad 1 ist, etwa 2x + 7, heißt linear. Lineare Terme begegnen dir in jedem folgenden Kapitel, denn lineare Gleichungen und Geraden im Koordinatensystem werden aus ihnen aufgebaut.

Gleichartige Glieder haben dieselben Buchstaben mit denselben Potenzen

Glieder sind gleichartig, wenn Variablen und Exponenten übereinstimmen. Alle konstanten Glieder sind untereinander gleichartig. Bei 5x, 7, n², 4, 3x und 9n² passen 5x zu 3x, n² zu 9n² und 7 zu 4. Koeffizienten sind dafür egal, nur Buchstaben und Potenzen zählen. 2x und 2x² sind nicht gleichartig, ebenso x und xy. Die Plättchen zeigen warum: x² ist ein großes Quadrat, x ein langer Streifen, 1 ein kleines Quadrat. Nur gleiche Formen lassen sich zusammenzählen.

Gleichartige Glieder zusammenfassen

Addiere die Koeffizienten gleichartiger Glieder und behalte die Buchstaben. In 3x + 7 + 4x + 5 stellst du Gleichartiges zusammen; die Reihenfolge ändert die Summe nicht: 3x + 4x + 7 + 5 = 7x + 12. Mit negativen Koeffizienten geht es ebenso. OpenStax vereinfacht 7x² + 8x − x² − 4x zu 6x² + 4x und stoppt, weil diese nicht gleichartig sind. Auch zwei Terme lassen sich so verbinden: (5x + 3) + (2x − 4) ergibt 7x − 1. Ein Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen darin um: (5x + 3) − (2x − 4) ist 5x + 3 − 2x + 4 = 3x + 7. Die nächste Einheit begründet das mit dem Distributivgesetz.