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홈›대수›식

항과 계수, 동류항 정리하기

x에 어떤 수를 넣어도 3x + 5x와 8x는 값이 같습니다. x = 7이면 21 + 35 = 56이고 8 × 7도 56입니다.

규칙을 믿기 전에 수를 넣어 봅니다

「3x + 5x는 8x와 같은 식이다」라는 말을 그냥 받아들이지 말고 확인해 봅시다. 두 식이 같다는 것은 x에 어떤 수를 넣어도 두 식의 값이 같다는 뜻입니다. 모든 수를 넣어 볼 수는 없지만 몇 개는 금방 넣어 볼 수 있고, 하나라도 다르면 두 식은 같지 않습니다. 아래 표에는 x의 값 다섯 개와 3x + 5x, 그리고 「x끼리 더했으니 x²이 되겠지」 하고 생각한 사람이 쓸 만한 8x²이 들어 있습니다. C열을 채우는 것이 여러분 몫입니다.

불러오는 중

끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

B열과 D열은 미리 채워 두었습니다. C2에 =8*A2를 쓰고 아래로 채우세요. C열은 모든 줄에서 B열과 같습니다. D열은 x = 1일 때만 같고, x = 0을 넣어도 같아집니다. 수 하나가 우연히 맞았다고 두 식이 같다고 말할 수 없는 까닭이 여기 있습니다.

표가 숫자로 보여 준 것을 말로 풀면 이렇습니다. 3x는 x가 3개, 5x는 x가 5개이므로 합하면 x가 8개입니다. x가 얼마이든 상관없습니다. 사과 3개와 사과 5개를 합하면 사과 8개이지, 「사과의 제곱」 8개가 되지 않는 것과 같습니다. x를 한 번 더 곱한 적이 없으니 제곱이 생길 까닭이 없습니다. x = 1일 때 8x²이 맞아 보인 것은 1² = 1이기 때문입니다. x = 2이면 16이 아니라 32, x = 7이면 56이 아니라 392가 나옵니다.

식을 이루는 항과 계수

식은 항으로 이루어집니다. 4x² + 2x − 3에서 덧셈으로 이어진 4x², 2x, −3 하나하나가 항입니다. 뺄셈은 음수를 더한 것으로 읽습니다. 4x² + 2x − 3 = 4x² + 2x + (−3)이므로 마지막 항은 3이 아니라 −3입니다. 수만으로 된 항 −3을 상수항이라 하고, 문자 앞에 곱해진 수를 그 문자의 계수라고 합니다. x²의 계수는 4, x의 계수는 2입니다. 9b + 15x² + a + 6에서 a의 계수는 1입니다. a = 1 × a인데 1을 생략했을 뿐입니다. −x의 계수는 −1입니다.

항에서 곱해진 문자의 개수를 그 항의 차수라고 합니다. 5x는 차수가 1, 5x²은 2, 상수항 6은 0입니다. 식에서 차수가 가장 큰 항의 차수를 그 식의 차수라고 하므로 3x² − 5x + 1은 차수가 2인 식입니다. 2x + 7처럼 차수가 1인 식을 일차식이라고 합니다. 다음 과정의 일차방정식과 일차함수가 모두 이 일차식에서 출발합니다.

문자와 차수가 같은 항이 동류항입니다

문자가 같고 차수도 같은 항을 동류항이라고 합니다. 상수항끼리도 동류항입니다. 5x, 7, n², 4, 3x, 9n² 가운데 5x와 3x, n²과 9n², 7과 4가 각각 동류항입니다. 계수는 상관없고 문자와 차수만 봅니다. 그래서 2x와 2x²은 계수가 같아도 동류항이 아니고, x와 xy도 동류항이 아닙니다. 아래 타일 그림을 보면 까닭이 보입니다. x² 타일은 큰 정사각형, x 타일은 긴 막대, 1 타일은 작은 정사각형입니다. 모양이 같은 타일끼리만 「몇 개」로 셀 수 있습니다.

대수 타일입니다. 파란 정사각형은 x², 초록 막대는 x, 주황 작은 정사각형은 1입니다. 2x² + 3x + 4와 x² + 2x + 1을 모양별로 다시 모으면 큰 정사각형 3개, 막대 5개, 작은 정사각형 5개이므로 합은 3x² + 5x + 5입니다.

동류항끼리 모아 간단히 합니다

동류항은 계수끼리 더하고 문자는 그대로 둡니다. 3x + 7 + 4x + 5라면 덧셈은 순서를 바꾸어도 되므로 동류항끼리 모아 3x + 4x + 7 + 5 = 7x + 12입니다. 계수가 음수여도 방법은 같습니다. 7x² + 8x − x² − 4x는 6x² + 4x가 되고, 여기서 끝납니다. 6x²과 4x는 동류항이 아니라서 더 합칠 수 없습니다. 일차식끼리 더하고 뺄 때도 마찬가지입니다. (5x + 3) + (2x − 4) = 7x − 1입니다. 괄호 앞에 −가 있으면 괄호 안 모든 항의 부호가 바뀌므로 (5x + 3) − (2x − 4) = 5x + 3 − 2x + 4 = 3x + 7입니다. 왜 부호가 모두 바뀌는지는 다음 단원의 분배법칙으로 설명합니다.

  1. 5x와 동류항인 것은?
    • −2x
    • 5x²
    • 5
    • 5y
  2. 9b + 15x² + a + 6에서 a의 계수는?
  3. 4 − x에서 x의 계수는?
  4. 3x² − 5x + 1의 차수는?
  5. 3x + 6x를 간단히 하세요.
  6. 3x + 7 + 4x + 5를 간단히 하세요.
  7. 7x² + 8x − x² − 4x를 간단히 하세요.
  8. 2a + 3b − a + 4b를 간단히 하세요.
  9. (5x + 3) − (2x − 4)를 간단히 하세요.
  10. 4x² + 2x + 5x² + 6x + 40x + 8xy의 동류항을 모두 정리하면 항은 몇 개 남을까요?
  11. x = 1일 때 3x + 5x와 8x²의 값은 둘 다 8입니다. 두 식은 같은 식일까요?
    • 아니다. x = 2이면 16과 32이다
    • 그렇다. x = 1에서 같다
    • 그렇다. 둘 다 계수가 8이다
    • x가 양수일 때만 같다
자주 하는 실수
  • 「3x + 5 = 8x」 3x와 5는 동류항이 아니라서 더할 수 없습니다. x = 2이면 3x + 5는 11, 8x는 16입니다. 3x + 5는 이미 더 간단히 할 수 없는 식입니다.
  • 「2x + 3x = 5x², x와 x가 만나 x²이 되니까」 더하기는 x의 개수를 세는 것이지 x끼리 곱하는 것이 아닙니다. 2x + 3x = 5x이고, x²이 되는 것은 x × x뿐입니다.
  • 「5x − (2x − 4) = 3x − 4」 괄호 앞의 −는 괄호 안의 두 항에 모두 적용됩니다. −(2x − 4) = −2x + 4이므로 답은 3x + 4입니다.
선생님 메모2022 개정 교육과정에서 일차식의 덧셈과 뺄셈은 중학교 1~3학년군 [9수02-02] 「일차식의 덧셈과 뺄셈의 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다」이고, 뒤의 [9수02-09]에서 다항식으로 넓어집니다. 이 영역의 용어 목록에 항, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항이 있습니다. 「원리를 이해하고」라는 말에 맞게 계산 규칙보다 까닭을 먼저 보여 주는 것이 좋습니다. 대수 타일은 모양으로, 위의 스프레드시트는 수로 같은 원리를 보여 줍니다. x = 1에서는 맞던 8x²이 x = 2에서 틀리는 것을 직접 본 학생은 「예 하나로는 두 식이 같다고 할 수 없다」는 것을 오래 기억합니다. 시험해 볼 값은 학생이 고르게 하되 0과 1은 피하게 하세요.
핵심 정리
  • 같은 식은 x에 어떤 수를 넣어도 값이 같고, 반례가 하나라도 있으면 다른 식입니다.
  • 항은 덧셈으로 이어진 하나하나이고(뺄셈은 음수의 덧셈), 문자 앞의 수가 계수입니다.
  • 문자와 차수가 같은 항이 동류항이며, 상수항끼리도 동류항입니다.
  • 동류항은 계수끼리 더합니다: 3x + 7 + 4x + 5 = 7x + 12.
이 과정의 출처 (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

확인한 날: 2026-10-19