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項、係数、同類項

どんな数をxに入れても、3x + 5xは8xと等しくなります。x = 7なら21 + 35 = 56で、8 · 7 = 56です。

規則を信じる前に二つの式を試す

そのまま受け入れず、確かめたい主張があります。3x + 5xは8xと同じ式だという主張です。「同じ」には厳密な意味があります。どんな数を入れても同じ値を与えるとき、2つの式は等価です。すべての数は試せませんが、いくつか試すのは簡単です。1つでも一致しなければ、その主張は否定できます。下の表には、xの5つの値、式3x + 5x、そして別の予想である8x²がすでに入っています。これは、xの項を2つ足すとxの2乗になると思う学習者が書く式です。担当するのはC列です。

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BとDは入力済みです。C2に=8*A2と入れて下へコピーすると、C列はすべての行でB列と一致します。D列はx = 1でしか一致しません（x = 0でも一致するはずです）。だから、たまたま合う1つの値では何も証明できません。

表は数で要点を示しますが、その理由は言葉で説明してもやはり明白です。3xはxが3つ分、5xはxが5つ分なので、合わせてxが8つ分で、xがいくつでも同じです。OpenStaxはオレンジで説明しています。オレンジ3個にさらに6個を足すと9個です。2乗は現れません。xにもう一度xを掛けたものはないからです。x = 1では、1² = 1なので、競合する8x²もたまたま一致します。x = 2では、16でなく32になり、x = 7では56でなく392になります。1つでも食い違えば十分です。

項と係数の名前

式は項からできています。OpenStaxは、項を定数、または定数と1つ以上の変数の積と定義しています。7、y、5x²、9a、13xyはすべて項です。変数に掛かっている数が係数です。9b + 15x² + a + 6の項は9b、15x²、a、6で、文字を含む項の係数は9、15、1です。aの係数は、書かれていなくても1です。a = 1 · aだからです。6のように変数のない項は定数項です。式にマイナス記号があるときは、負の数を足すものと読みます。5x − 3は5x + (−3)なので、項は5xと−3です。

各項には、文字の因数の個数である次数もあります。5xは1次、5x²は2次、定数6は0次です。式の次数は、含まれる項の次数の最大値なので、3x² − 5x + 1は2次です。2x + 7のように最高次数が1の式を一次式といいます。この先のどの章でも一次式に出会います。一次方程式や直線のグラフは、一次式から作られるからです。

同類項は文字と指数が同じ

同じ文字を同じ指数で含む項どうしを同類項といい、定数項どうしもすべて同類項です。5x、7、n²、4、3x、9n²の中では、5xと3x、n²と9n²、7と4がそれぞれ同類項です。この判定で係数は関係なく、文字とその累乗だけを見ます。2xと2x²は同類項ではなく、xとxyも同類項ではありません。下のタイルで、その理由が分かります。x²のタイルは大きな正方形、xのタイルは細長い長方形、1のタイルは小さな正方形です。同じ形のタイルだけをまとめて数えられます。

代数タイル。青の正方形はx²、緑の帯はx、オレンジの正方形は1です。2x² + 3x + 4とx² + 2x + 1の2つの組を形ごとに分けると、正方形3枚、帯5本、小さな正方形5枚なので、和は3x² + 5x + 5です。

同類項をまとめる

簡単にするには、同類項の係数を足し、文字はそのままにします。3x + 7 + 4x + 5では、同類項を隣どうしに動かします。足し算では順序を変えても和が変わらないので、これができます。3x + 4x + 7 + 5 = 7x + 12です。負の係数も、引き算として同じように扱えます。OpenStaxは7x² + 8x − x² − 4xを6x² + 4xに簡単にし、そこで止めます。6x²と4xは同類項ではないからです。2つの式も同じようにまとめられます。(5x + 3) + (2x − 4)は7x − 1です。括弧の前のマイナス記号は、括弧の中のすべての項の符号を変えるので、(5x + 3) − (2x − 4)は5x + 3 − 2x + 4 = 3x + 7です。その理由は、次の単元で分配法則を使って説明します。

  1. 5xの同類項は？
    • −2x
    • 5x²
    • 5
    • 5y
  2. 9b + 15x² + a + 6でaの係数は？
  3. 4 − xでxの係数は？
  4. 3x² − 5x + 1の次数は？
  5. 3x + 6xをまとめましょう。
  6. 3x + 7 + 4x + 5をまとめましょう。
  7. 7x² + 8x − x² − 4xをまとめましょう。
  8. 2a + 3b − a + 4bをまとめましょう。
  9. (5x + 3) − (2x − 4)を計算しましょう。
  10. 4x² + 2x + 5x² + 6x + 40x + 8xyの同類項をまとめると、項はいくつ残りますか？
  11. 3x + 5xと8x²は、x = 1のときどちらも8になります。この2つは等価ですか？
    • いいえ。x = 2では16と32になります
    • はい。x = 1で一致します
    • はい。どちらも係数が8です
    • xが正のときだけです
よくある間違い
  • 「3x + 5 = 8xです」 3xと5は同類項ではないので、足せません。x = 2では左辺が11で、8xは16です。3x + 5はこれ以上簡単になりません。
  • 「xとxでx²なので2x + 3x = 5x²です」 足し算はxの個数を数えるもので、xどうしを掛けるのではありません。2x + 3x = 5xです。x · xだけがx²になります。
  • 「5x − (2x − 4) = 3x − 4です」 括弧の前のマイナス記号は、括弧の中の両方の項に掛かります：−(2x − 4) = −2x + 4。答えは3x + 4です。
先生からひとこと韓国の2022年改訂教育課程では、一次式の加減は中学校の学習基準で、計算するだけでなく原理の理解も求めています。後の基準では多項式へと広がります。この分野の用語一覧には、項、定数項、係数、次数、一次式、同類項があります。タイルは原理を目に見える形にし、上のような表計算は数を使って同じことを示します。8x²がx = 1では3x + 5xと一致しても、x = 2では一致しないと分かった学習者は、1例だけでは2つの式の等しさを証明できないことを覚えます。試す値を自分で選ばせ、0と1を避けるよう導きましょう。
ポイント
  • 等価な式は、すべてのxで同じ値になります。反例が1つあれば、違う式だと分かります。
  • 項は+でつなぎます（−は負の数を足すと読みます）。前にある数が係数です。
  • 同類項は文字と累乗が同じで、定数項も同類です。
  • 係数を足して同類項をまとめます：3x + 7 + 4x + 5 = 7x + 12。
このコースの出典 (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

確認日: 2026-10-19