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式の値と計算順序

4 + 3 · 7を左から順に計算すると49、先に掛け算をすると25になります。値になれるのは一つだけなので、順序はあらかじめ取り決められています。

左からの習慣では49になる

OpenStaxは計算順序の節を、まさにこの式4 + 3 · 7と、2つの生徒のグループから始めます。最初のグループは文を読むときのように左から読み、4 + 3は7、7 · 7は49とします。2番目のグループは先に掛け算をし、3 · 7は21、4 + 21は25とします。どちらのグループも計算は正しいので、食い違いは足し算や掛け算そのものにあるのではありません。どの演算を先にするかにあります。同じ式が2つの異なる数を意味しうるなら、だれも他の人が使える公式を書けません。そこで数学者は1つの順序を取り決め、答えは25になります。

左から右へ計算する習慣が、ばかげているわけではありません。足し算と引き算だけの列でも、掛け算と割り算だけの列でも正しい方法です。2種類が混ざると誤りになるのは、掛け算が足し算よりも強くまとまるからです。4 + 3 · 7は、4に7を3つ分足す式だと考えましょう。3 · 7は1つのまとまり、1つの量であり、そのまとまりに4を足します。このように読めば、25という答えは暗記する規則ではなく、式の意味そのものに見えてきます。

決められた順序を一歩ずつ

  1. 括弧などのまとまりを内側から計算します。
  2. 累乗を計算します。
  3. 乗除を左から計算します。
  4. 加減を左から計算します。

英語圏の教室では、OpenStaxが引用する語呂合わせの文「Please Excuse My Dear Aunt Sally」から、この一覧をPEMDASと覚えます。文字の並びよりも、組になっていることが大切です。「My Dear」が並んでいるのは、乗除の優先順位が等しく、左から先に出てきたほうを計算するからです。だから18 ÷ 9 · 2は2 · 2 = 4であり、18 ÷ 18 = 1ではありません。「Aunt Sally」も同じで、10 − 3 + 2は9であり、5ではありません。同じ本には、もっと長い例の18 ÷ 6 + 4(5 − 2)もあります。括弧の中は3になり、18 ÷ 6は3、4 · 3は12で、3 + 12 = 15です。

括弧の中に括弧がある場合は、内側から外側へ計算します。5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]では、まず4 − 2 = 2です。すると角括弧の中は6 − 3 · 2 = 0となり、0の3倍は0です。累乗2³は8なので、全体は5 + 8 + 0 = 13になります。各段階を、前の式の下に1行ずつ書きましょう。OpenStaxも、ページを下へ進めるこの習慣を勧めています。各行が、上の行と同じ値を持つ、より短い完全な式になるため、どこで間違えたかを最も簡単に見つけられます。

文字に数を代入する

式の値を求めるとは、変数を指定された数に置き換えたときの値を計算することです。代入してから、計算順序に従って簡単にします。9x − 2でx = 5なら、式は9 · 5 − 2 = 45 − 2 = 43です。x = 1なら9 − 2 = 7です。同じ式でも、入れる数によって値が変わります。代入するときは、掛け算の記号を書き戻しましょう。x = 4なら3xは3 · 4 = 12です。3のすぐ後ろに4を書いてしまうと、別の数である34になってしまいます。

負の数は括弧に入れて代入します。x = −3なら、x²は(−3)² = (−3) · (−3) = 9です。−x²は別の式で、累乗を先に計算し、マイナス記号はそのあとなので、x = −3のとき−9で、x = 3のときも−9です。括弧は引き算も守ります。x = −2のとき5 − xは5 − (−2) = 7です。表計算は、1つの式を多くの値について一度に求めるのに便利で、下の実験室ではまさにそれを行います。

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表計算は掛け算に*、累乗に^を使い、9x − 2は=9*A2-2です。B2、C2を下へコピーして比べましょう。D2に=-A2^2と入れるとx = −3で9です。ExcelとGoogle Sheetsは負号を累乗より先に処理するからです。=-(A2^2)なら代数の−9になります。
ExcelでのMicrosoftの演算子の優先順位の一覧では、−1のような符号反転が、累乗より上に置かれています。そのため、表計算では=-3^2が9になりますが、紙の上の−3²は−9です。マイナス記号と累乗が出会うときは、いつも括弧を使いましょう。
  1. 4 + 3 · 7を計算しましょう。
  2. (4 + 3) · 7を計算しましょう。
  3. 18 ÷ 9 · 2を計算しましょう。
  4. 18 ÷ 6 + 4(5 − 2)を計算しましょう。
  5. 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]を計算しましょう。
  6. 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²を計算しましょう。
  7. x = 5のとき9x − 2の値は？
  8. x = 4のとき3x + 7の値は？
  9. x = −3のときx²の値は？
  10. x = 3のとき−x²の値は？
  11. x = −2のとき5 − xの値は？
  12. A2にxが入っているとき、9x − 2を計算する表計算の式はどれですか？
    • =9*A2-2
    • =9A2-2
    • =9*(A2-2)
    • 9*A2-2
よくある間違い
  • 「左から計算して2 + 3 · 4 = 20です」 掛け算が足し算より先で、3 · 4 = 12、2 + 12 = 14です。左から進むという決まりは、同じ順位の演算の間だけで使います。
  • 「掛け算は割り算より先なので18 ÷ 9 · 2 = 18 ÷ 18 = 1です」 この2つは同じ順位です。左から進めて、18 ÷ 9 = 2、次に2 · 2 = 4です。
  • 「x = −3ならx²は−9です」 括弧をつけて代入すると(−3)² = 9です。−9になるのは−x²のほうで、そこでは累乗をマイナス記号より先に計算します。
先生からひとこと韓国の2022年改訂教育課程では、四則の混合計算の順序は小学校5～6年の学習基準です。注記では、順序に重点を置き、複雑すぎる混合計算は避けるよう求めています。中学校では累乗が加わり、文字に関する学習基準の最後で式の値を求めます。教育課程は「代入」を用語に挙げ、「式の値」という表現を授業で使うことを認めています。急いで計算する学習者には、同じ式を2回、1回は決められた順序、もう1回は左から右へ計算して比べさせるとよい確認になります。括弧を使って代入することが習慣になれば、負の数による間違いの多くはなくなります。
ポイント
  • 順序は、括弧、累乗、乗除（左から）、加減（左から）です。
  • 文字に数を代入して計算します。
  • 負の数は括弧に入れます。(−3)² = 9ですが、−3² = −9です。
  • 表計算では*と^を使い、先頭のマイナス記号は累乗より先に処理されます。
このコースの出典 (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

確認日: 2026-10-19