Valore delle espressioni e ordine delle operazioni

Calcola 4 + 3 · 7 da sinistra a destra: ottieni 49. Moltiplica prima: ottieni 25. Il valore deve essere uno solo, quindi l'ordine si stabilisce prima.

Da sinistra a destra ottieni 49

OpenStax apre la sezione sull'ordine delle operazioni proprio con questa espressione, 4 + 3 · 7, e due gruppi di studenti. Il primo gruppo legge come leggiamo una frase: 4 + 3 fa 7 e 7 · 7 fa 49. Il secondo gruppo esegue prima la moltiplicazione: 3 · 7 fa 21 e 4 + 21 fa 25. Entrambi i gruppi hanno eseguito correttamente i calcoli, quindi il disaccordo non riguarda l'addizione o la moltiplicazione. Riguarda quale operazione viene prima. Se la stessa espressione potesse significare due numeri diversi, nessuno potrebbe scrivere una formula utilizzabile da altri. I matematici hanno quindi fissato un ordine, e la risposta è 25.

L'abitudine di procedere da sinistra a destra non è sciocca. Va bene per una serie di addizioni e sottrazioni, e va bene per una serie di moltiplicazioni e divisioni. Sbaglia quando i due tipi sono mescolati, perché la moltiplicazione lega più strettamente dell'addizione. Pensa a 4 + 3 · 7 come a 4 più tre volte sette: 3 · 7 è un blocco unico, una sola quantità, e il 4 si aggiunge a quel blocco. Letto così, 25 smette di sembrare una regola da memorizzare e comincia a sembrare il significato dell'espressione.

L'ordine stabilito, passo per passo

1. Parentesi e altri raggruppamenti, partendo dall'interno.
2. Potenze.
3. Moltiplicazioni e divisioni, da sinistra a destra.
4. Addizioni e sottrazioni, da sinistra a destra.

Nelle classi anglofone si ricorda l'elenco con PEMDAS, dalla buffa frase citata da OpenStax, «Please Excuse My Dear Aunt Sally». Il raggruppamento conta più dell'ordine delle lettere. «My Dear» va insieme perché moltiplicazione e divisione hanno la stessa priorità e si esegue quella che viene prima da sinistra. Quindi 18 ÷ 9 · 2 è 2 · 2 = 4, non 18 ÷ 18 = 1. Lo stesso vale per «Aunt Sally»: 10 − 3 + 2 fa 9, non 5. Un esempio più lungo dello stesso libro è 18 ÷ 6 + 4(5 − 2). La parentesi dà 3, poi 18 ÷ 6 fa 3 e 4 · 3 fa 12, e 3 + 12 = 15.

Le parentesi dentro altre parentesi si risolvono dall'interno verso l'esterno. In 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)], comincia con 4 − 2 = 2. La parentesi quadra contiene allora 6 − 3 · 2 = 0, e tre volte zero fa 0. La potenza 2³ vale 8, quindi il totale è 5 + 8 + 0 = 13. Scrivi ogni passaggio su una riga a sé, sotto quella precedente. OpenStax raccomanda questa abitudine di procedere lungo la pagina, ed è il modo più semplice per trovare dove si è insinuato un errore, perché ogni riga è un'espressione completa, più breve, con lo stesso valore della riga sopra.

Sostituire un numero alla lettera

Calcolare il valore di un'espressione significa trovare il suo valore quando la variabile viene sostituita da un numero dato. Sostituisci, poi semplifica rispettando l'ordine delle operazioni. Per 9x − 2 con x = 5, l'espressione diventa 9 · 5 − 2 = 45 − 2 = 43. Con x = 1 diventa 9 − 2 = 7. La stessa espressione, valori diversi, perché il valore dipende dal numero che inserisci. Quando sostituisci, riscrivi il segno di moltiplicazione. Con x = 4, 3x è 3 · 4 = 12, e chi scrive il 4 subito dopo il 3 legge 34, che è un numero diverso.

I numeri negativi si inseriscono tra parentesi. Se x = −3, allora x² è (−3)² = (−3) · (−3) = 9. L'espressione −x² è diversa: si calcola prima la potenza e poi si applica il segno meno, quindi per x = −3 vale −9 e per x = 3 vale ugualmente −9. Le parentesi proteggono anche la sottrazione: 5 − x per x = −2 è 5 − (−2) = 7. Un foglio di calcolo è un modo pratico per calcolare un'espressione per molti valori contemporaneamente, e il laboratorio qui sotto ti chiede di fare proprio questo.