Lettere per i numeri: dalle parole alle espressioni

Nel 1591 François Viète pubblicò un libro in cui le lettere rappresentavano numeri: vocali per gli incogniti e consonanti per i noti.

Una sola lettera può rappresentare tutte le età insieme

OpenStax inizia l'algebra con due persone nate nello stesso giorno dell'anno. Greg ha 20 anni e Alex 23. Quando Greg ne aveva 12, Alex ne aveva 15; quando ne avrà 35, Alex ne avrà 38. Qualunque sia l'età di Greg, Alex ha 3 anni in più. Le età cambiano: sono variabili. La differenza 3 non cambia: è una costante. Chiama g l'età di Greg e descrivi ogni riga della tabella con g + 3. Una variabile è una lettera che rappresenta un numero o una quantità il cui valore può cambiare. Spesso si usano x, y, a, b, c, ma va bene qualsiasi lettera, purché ne spieghi il significato.

Un'espressione è un numero, una variabile o una combinazione di numeri, variabili e simboli di operazione: 3 + 5, n − 1, 6 · 7 e g + 3 sono tutte espressioni. OpenStax paragona un'espressione a un sintagma in inglese, come «la somma di tre e cinque», che non ha un verbo. Un'equazione unisce due espressioni con il segno di uguale, e il segno di uguale funziona come il verbo che trasforma un sintagma in una frase: 3 + 5 = 8 afferma qualcosa che è vero o falso. Quando traduci le parole in algebra, controlla prima quale dei due ti viene chiesto. «Cinque in più di n» è un sintagma, quindi la risposta è l'espressione n + 5. «Cinque in più di n è 12» è una frase, quindi diventa l'equazione n + 5 = 12.

Scritture abbreviate di prodotti e quozienti

In algebra si evita il segno × per la moltiplicazione, perché somiglia alla lettera x. OpenStax si chiede: 3xy significa 3 × y oppure 3 · x · y? Scrivi invece un punto in alto o delle parentesi, oppure metti semplicemente i fattori uno accanto all'altro. Il numero va davanti alle lettere, quindi x · 3 si scrive 3x e b · 5 · a diventa 5ab, con le lettere di solito in ordine alfabetico. Un fattore 1 non si scrive: 1 · a è semplicemente a, e −1 · a è −a. I fattori ripetuti diventano una potenza, quindi a · a · a è a³, che si legge «a al cubo». La divisione si scrive di solito come frazione, quindi a ÷ 4 diventa a su 4, che si può anche digitare come a/4. Niente di tutto questo cambia il valore: rende solo le espressioni più brevi e più facili da confrontare.

Dalle parole a un'espressione

La maggior parte delle frasi indica un'operazione e poi due numeri. «La somma di a e b» è a + b, «la differenza tra 20 e 4» è 20 − 4, «il prodotto di 6 e n» è 6n e «il quoziente di x e 3» è x/3. Cerca le parole «di» e «e» per trovare i due numeri. Due espressioni richiedono attenzione, perché invertono l'ordine in cui le leggi. «Otto in più di y» significa 8 sommato a y, quindi è y + 8. «Sette in meno di 9z» significa 7 sottratto da 9z, quindi è 9z − 7, non 7 − 9z. Una rapida prova con i numeri risolve ogni dubbio: sette in meno di 10 è 3, e solo 10 − 7 dà 3.

Le descrizioni più lunghe funzionano allo stesso modo, una volta dato un nome all'incognita. OpenStax descrive una finestra la cui altezza è di 6 pollici inferiore alla larghezza. Sia w la larghezza; allora l'altezza è w − 6. Un altro esempio: il numero di monete da dieci centesimi in un borsellino è 2 in meno di 5 volte il numero di monete da un quarto di dollaro. Sia q il numero di monete da un quarto di dollaro. Cinque volte q è 5q, e 2 in meno è 5q − 2. Le domande sugli acquisti sono uguali. Se i quaderni costano $3 l'uno e una penna costa $2, allora n quaderni e una penna costano 3n + 2 dollari. Prima di cominciare, scrivi in una breve frase che cosa significa la lettera. Una lettera di cui non hai mai scritto il significato è il motivo più comune per cui un'espressione dall'aspetto corretto risulta sbagliata.