Huruf sebagai bilangan: dari kata ke bentuk aljabar

Pada 1591 François Viète menerbitkan buku dengan huruf sebagai bilangan: vokal untuk yang belum diketahui, konsonan untuk yang diketahui.

Latar belakangFrançois Viète adalah putra seorang pengacara dan sendiri belajar hukum. Biografi MacTutor dari University of St Andrews mengutip ia menggambarkan dirinya sebagai orang yang tidak mengaku matematikawan, tetapi senang pada matematika setiap kali ada waktu luang. Ia cukup mahir sehingga Henry IV dari Prancis meminta bantuannya membaca surat-surat bersandi yang dikirim kepada musuhnya, Philip II dari Spanyol. Sandi itu memerlukan waktu bagi Viète, dan ia berhasil memecahkannya. Pada 1591, di Tours, ia menerbitkan In artem analyticam isagoge, yang oleh MacTutor disebut notasi aljabar sistematis pertama. Huruf mewakili besaran, baik yang diketahui maupun yang belum diketahui: vokal untuk yang belum diketahui, konsonan untuk yang diketahui. Kebiasaan yang kita pakai sekarang, huruf awal seperti a, b, c untuk nilai yang diketahui dan huruf akhir seperti x untuk yang belum diketahui, datang kemudian dari René Descartes dalam La Géométrie, yang terbit di Leiden pada 1637 sebagai lampiran Discourse on Method.

Satu huruf dapat mewakili semua umur sekaligus

OpenStax membuka bab aljabarnya dengan dua orang yang berbagi tanggal ulang tahun. Tahun ini Greg berumur 20 dan Alex 23. Ketika Greg 12, Alex 15; ketika Greg 35, Alex akan berumur 38. Berapa pun umur Greg, Alex selalu 3 tahun lebih tua. Umur berubah, jadi dalam aljabar umur adalah variabel. Selisih 3 tidak pernah berubah, jadi selisih itu konstanta. Sebut umur Greg g, dan setiap baris tabel itu dapat dinyatakan dengan satu bentuk, g + 3. Variabel adalah huruf yang mewakili bilangan atau besaran yang nilainya dapat berubah. Huruf yang sering dipakai sebagai variabel adalah x, y, a, b, dan c, tetapi huruf apa pun boleh dipakai asalkan kamu menyebutkan artinya.

Bentuk aljabar adalah bilangan, variabel, atau gabungan bilangan, variabel, dan lambang operasi: 3 + 5, n − 1, 6 · 7, dan g + 3 semuanya merupakan bentuk aljabar. OpenStax membandingkannya dengan frasa dalam bahasa Inggris, seperti “jumlah tiga dan lima”, yang tidak memiliki kata kerja. Persamaan menghubungkan dua bentuk dengan tanda sama dengan, dan tanda itu berfungsi seperti kata kerja yang mengubah frasa menjadi kalimat: 3 + 5 = 8 menyatakan sesuatu yang benar atau salah. Saat menerjemahkan kata-kata menjadi aljabar, periksa dahulu mana yang diminta. “Lima lebih dari n” adalah frasa, sehingga jawabannya bentuk n + 5. “Lima lebih dari n adalah 12” merupakan kalimat, sehingga menjadi persamaan n + 5 = 12.

Penulisan singkat perkalian dan pembagian

Aljabar menghindari tanda silang untuk perkalian karena × menyerupai huruf x. OpenStax bertanya: apakah 3xy berarti 3 × y atau 3 · x · y? Sebagai gantinya, tulis titik tengah atau tanda kurung, atau cukup letakkan faktor berdampingan. Bilangan diletakkan sebelum huruf, sehingga x · 3 ditulis 3x dan b · 5 · a menjadi 5ab, dengan huruf biasanya berurutan menurut abjad. Faktor 1 tidak ditulis: 1 · a cukup a, dan −1 · a adalah −a. Faktor berulang menjadi pangkat, sehingga a · a · a adalah a³, dibaca “a pangkat tiga”. Pembagian biasanya ditulis sebagai pecahan, sehingga a ÷ 4 menjadi a per 4, yang juga dapat diketik a/4. Semua ini tidak mengubah nilai. Penulisannya hanya membuat bentuk lebih singkat dan mudah dibandingkan.

Bentuk panjang	Bentuk singkat
x · 3	3x
b · 5 · a	5ab
1 · a	a
(−1) · a	−a
a · a · a	a³
a ÷ 4	a/4 (a di atas 4)
(x + y) · 2	2(x + y)

Mengubah kata menjadi bentuk aljabar

Kebanyakan frasa kata menyebut sebuah operasi lalu dua bilangan. "Jumlah a dan b" adalah a + b, "selisih 20 dan 4" adalah 20 − 4, "hasil kali 6 dan n" adalah 6n, dan "hasil bagi x dan 3" adalah x/3. Cari kata "dari" dan "dan" untuk menemukan kedua bilangannya. Dua frasa perlu hati-hati karena urutan bacanya terbalik. "Delapan lebih dari y" berarti 8 ditambahkan pada y, jadi y + 8. "Tujuh kurang dari 9z" berarti 7 dikurangkan dari 9z, jadi 9z − 7, bukan 7 − 9z. Uji dengan bilangan menghapus keraguan: tujuh kurang dari 10 adalah 3, dan hanya 10 − 7 yang menghasilkan 3.

Deskripsi yang lebih panjang bekerja dengan cara sama setelah kamu menamai besaran yang belum diketahui. OpenStax menggambarkan jendela yang tingginya 6 inci kurang dari lebarnya. Misalkan w adalah lebarnya; tingginya menjadi w − 6. Contoh lain: jumlah koin sepuluh sen dalam dompet adalah 2 kurang dari 5 kali jumlah koin seperempat dolar. Misalkan q adalah jumlah koin seperempat dolar. Lima kalinya adalah 5q, dan 2 kurang dari itu adalah 5q − 2. Soal belanja juga demikian. Jika buku tulis berharga $3 per buah dan pena $2, harga n buku tulis dan satu pena adalah 3n + 2 dolar. Tulis arti huruf dalam kalimat singkat sebelum mulai. Huruf yang artinya tidak pernah dituliskan adalah penyebab paling umum bentuk yang tampak benar ternyata salah.

Bentuk aljabar tidak memiliki tanda sama dengan, sedangkan persamaan memilikinya. y + 8 adalah bentuk aljabar, y + 8 = 40 adalah persamaan. Jika soal meminta "tuliskan sebuah bentuk aljabar", jawaban yang memuat "=" menjawab pertanyaan lain.

jumlah a dan b	a + b
selisih a dan b	a − b
hasil kali 6 dan n	6n
hasil bagi x dan 3	x/3
delapan lebih dari y	y + 8
tujuh kurang dari 9z	9z − 7
dua kali n, tambah 1	2n + 1
variabel	huruf untuk nilai yang dapat berubah
konstanta	bilangan bernilai tetap

Delapan lebih dari y:
- y + 8
- 8y
- y − 8
- 8 − y
Tujuh kurang dari 9z:
- 9z − 7
- 7 − 9z
- 9z + 7
- 63z
Tulis hasil kali 6 dan n secara singkat.
Tulis x · y · 3 secara singkat.
Tulis a · a · a sebagai pangkat.
Bagaimana a ÷ 4 biasa ditulis dalam aljabar?
- a/4
- 4/a
- 4a
- a − 4
Mana persamaan?
- y + 8 = 40
- y + 8
- 4 · 2 + 1
- x ÷ 25
Alex 3 tahun lebih tua daripada Greg, yang berumur g tahun. Umur Alex adalah:
- g + 3
- g − 3
- 3g
- g/3
Buku tulis berharga $3 per buah dan sebuah pena $2. Tulis biaya n buku tulis dan satu pena dalam dolar.
Jumlah koin sepuluh sen adalah 2 kurang dari 5 kali jumlah koin seperempat dolar, q. Jumlah koin sepuluh sen adalah:
- 5q − 2
- 2 − 5q
- 5(q − 2)
- 5q + 2
Manakah cara biasa untuk menulis b · 5 · a?
- 5ab
- b5a
- ab5
- 5 + a + b

Kesalahan umum

"Tujuh kurang dari x adalah 7 − x." Frasa itu berawal dari x lalu mengurangi 7: x − 7. Masukkan x = 10. Tujuh kurang dari 10 adalah 3, sedangkan 7 − 10 adalah −3, jadi 7 − x memberi tanda yang salah.
"3x berarti 3 + x." Berdampingan berarti dikalikan: 3x = 3 · x. Dengan x = 4, 3x bernilai 12 dan 3 + x bernilai 7.
"1x dan x3 adalah cara yang baik untuk menulis x dan 3x." Nilainya benar, tetapi menurut konvensi yang lazim, 1 dihilangkan dan bilangan ditulis lebih dulu: x dan 3x. Ujian dan orang lain membaca bentuk aljabar lebih cepat dalam bentuk baku.

Catatan untuk guruDalam kurikulum nasional Korea 2022, huruf diperkenalkan pada jenjang SMP (kelas 1 sampai 3 SMP): standarnya meminta siswa menuliskan berbagai situasi sebagai bentuk dengan huruf, mengenali kegunaan huruf, dan mencari nilai bentuk tersebut. Catatannya juga meminta guru membandingkan huruf dengan bilangan serta bahasa sehari-hari, dengan melihat persamaan dan perbedaannya. Sebelumnya, kelas 5 sampai 6 SD sudah menulis hubungan dengan kotak dan segitiga, sehingga peralihan dari kotak ke huruf menjadi jembatan yang baik: tulis □ + 3 dahulu, lalu a + 3. Frasa “kurang dari” paling sering menyebabkan kesalahan penerjemahan. Minta siswa menguji setiap terjemahan dengan satu bilangan sebelum melanjutkan.

Poin penting

Variabel adalah huruf untuk bilangan yang dapat berubah; konstanta tetap sama.
Bentuk aljabar tidak memiliki tanda sama dengan; persamaan menghubungkan dua bentuk dengan =.
Singkat: 3x, 5ab, a untuk 1a, a³ untuk a · a · a, a/4 untuk a ÷ 4.
"Tujuh kurang dari 9z" adalah 9z − 7. Uji dengan bilangan.

Sumber kursus ini (10)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
"René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

Diperiksa: 2026-10-19