Letters voor getallen: van woorden naar uitdrukkingen

In 1591 drukte François Viète een boek waarin letters getallen voorstelden: klinkers onbekende, medeklinkers bekende.

Eén letter voor elke leeftijd tegelijk

OpenStax begint het hoofdstuk over algebra met twee mensen die op dezelfde dag jarig zijn. Greg is dit jaar 20 en Alex is 23. Toen Greg 12 was, was Alex 15; wanneer Greg 35 is, zal Alex 38 zijn. Hoe oud Greg ook is, Alex is 3 jaar ouder. De leeftijden veranderen en zijn in de algebra dus variabelen. Het verschil van 3 verandert nooit en is daarom een constante. Noem Gregs leeftijd g en je kunt elke rij van die tabel beschrijven met één uitdrukking: g + 3. Een variabele is een letter die een getal of grootheid voorstelt waarvan de waarde kan veranderen. Veelgebruikte letters voor variabelen zijn x, y, a, b en c, maar elke letter kan, zolang je zegt wat ze betekent.

Een uitdrukking is een getal, een variabele of een combinatie van getallen, variabelen en bewerkingstekens: 3 + 5, n − 1, 6 · 7 en g + 3 zijn allemaal uitdrukkingen. OpenStax vergelijkt een uitdrukking met een Engelse woordgroep, zoals ‘de som van drie en vijf’, zonder werkwoord. Een vergelijking verbindt twee uitdrukkingen met een gelijkteken. Dat gelijkteken werkt als het werkwoord dat van een woordgroep een zin maakt: 3 + 5 = 8 doet een uitspraak die waar of onwaar is. Controleer bij het omzetten van woorden in algebra eerst welke van de twee wordt gevraagd. ‘Vijf meer dan n’ is een woordgroep, dus het antwoord is de uitdrukking n + 5. ‘Vijf meer dan n is 12’ is een zin en wordt daarom de vergelijking n + 5 = 12.

Vermenigvuldigen en delen kort schrijven

In de algebra vermijden we het maalteken ×, omdat het op de letter x lijkt. OpenStax vraagt: betekent 3xy nu 3 × y of 3 · x · y? Gebruik liever een verhoogde punt of haakjes, of zet de factoren gewoon naast elkaar. Het getal komt vóór de letters: x · 3 schrijven we als 3x en b · 5 · a wordt 5ab, meestal met de letters in alfabetische volgorde. Een factor 1 schrijven we niet: 1 · a is gewoon a en −1 · a is −a. Herhaalde factoren worden een macht, dus a · a · a is a³, uitgesproken als ‘a tot de derde macht’. Delen schrijven we meestal als een breuk: a ÷ 4 wordt a boven 4, ook te typen als a/4. Niets hiervan verandert de waarde. Het maakt uitdrukkingen alleen korter en gemakkelijker te vergelijken.

Woorden omzetten in een uitdrukking

De meeste omschrijvingen noemen een bewerking en daarna twee getallen. ‘De som van a en b’ is a + b, ‘het verschil van 20 en 4’ is 20 − 4, ‘het product van 6 en n’ is 6n en ‘het quotiënt van x en 3’ is x/3. Let op de woorden ‘van’ en ‘en’ om de twee getallen te vinden. Twee omschrijvingen vragen extra aandacht, omdat de leesvolgorde wordt omgekeerd. ‘Acht meer dan y’ betekent dat je 8 bij y optelt, dus y + 8. ‘Zeven minder dan 9z’ betekent dat je 7 van 9z aftrekt, dus 9z − 7 en niet 7 − 9z. Een snelle proef met getallen neemt de twijfel weg: zeven minder dan 10 is 3, en alleen 10 − 7 geeft 3.

Langere beschrijvingen werken hetzelfde zodra je de onbekende een naam geeft. OpenStax beschrijft een raam waarvan de hoogte 6 inch minder is dan de breedte. Stel dat w de breedte is; dan is de hoogte w − 6. Nog een voorbeeld: in een portemonnee zitten 2 minder dubbeltjes dan 5 keer het aantal kwartjes. Noem het aantal kwartjes q. Vijf keer dat aantal is 5q, en 2 minder is 5q − 2. Bij winkelvragen werkt het net zo. Als schriften $3 per stuk kosten en een pen $2 kost, dan kosten n schriften en één pen samen 3n + 2 dollar. Schrijf vóór je begint in een korte zin wat de letter betekent. Een letter waarvan je de betekenis nooit hebt opgeschreven, is de meest voorkomende reden waarom een correct ogende uitdrukking toch fout blijkt.