문자를 사용한 식: 말을 식으로 나타내기

1591년 프랑수아 비에트는 모르는 수는 모음으로, 아는 수는 자음으로 적는 책을 냈습니다. 수 대신 문자를 쓰는 방식이 이때 처음으로 체계를 갖춥니다.

배경프랑수아 비에트(1540~1603)는 변호사의 아들로 태어나 자신도 대학에서 법을 공부했습니다. 세인트앤드루스 대학교 MacTutor의 전기에는 비에트가 자신을 「수학자라고 내세우지는 않지만 틈이 날 때마다 수학을 즐기는 사람」이라고 소개한 글이 실려 있습니다. 실력은 수학자 못지않아서, 프랑스 왕 앙리 4세는 적이던 에스파냐 왕 펠리페 2세에게 오가는 암호 편지를 비에트에게 맡겼고, 비에트는 시간이 걸렸지만 끝내 암호를 풀었습니다. 1591년 투르에서 낸 『해석술 입문(In artem analyticam isagoge)』을 MacTutor는 처음으로 체계를 갖춘 대수 기호라고 평가합니다. 아는 양도 모르는 양도 모두 문자로 적었고, 모르는 양은 모음, 아는 양은 자음으로 구별했습니다. 오늘날처럼 a, b, c 같은 앞쪽 글자는 아는 값에, x 같은 뒤쪽 글자는 모르는 값에 쓰는 습관은 그 뒤 데카르트가 1637년 레이던에서 펴낸 『방법서설』의 부록 『기하학(La Géométrie)』에서 시작되었습니다.

나이가 바뀌어도 식은 하나입니다

민지는 동생보다 3살 많습니다. 동생이 10살이면 민지는 13살, 동생이 15살이 되면 민지는 18살입니다. 동생의 나이는 해마다 바뀌지만 둘의 나이 차 3은 바뀌지 않습니다. 동생의 나이를 a살이라고 하면 민지의 나이는 언제나 (a + 3)살입니다. 표를 몇 줄씩 늘어놓지 않아도 식 하나로 모든 해를 한꺼번에 나타낼 수 있습니다. 이렇게 여러 가지 값을 가질 수 있는 수를 문자로 나타낸 것을 변수라고 하고, 3처럼 바뀌지 않는 수는 상수라고 합니다. 문자는 x, y, a, b를 많이 쓰지만, 무엇을 나타내는지 먼저 밝히면 어떤 글자를 써도 됩니다.

3 + 5, n − 1, 6 × 7, a + 3처럼 수와 문자를 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 기호로 이어 놓은 것을 식이라고 합니다. 식 하나만으로는 참인지 거짓인지 말할 수 없습니다. 「동생 나이보다 3 큰 수」라는 말이 문장이 아니라 이름처럼 쓰이는 것과 같습니다. 등호 =로 두 식을 이으면 등식이 되고, 이때 비로소 참과 거짓을 따질 수 있습니다. 3 + 5 = 8은 참이고 3 + 5 = 9는 거짓입니다. 말을 식으로 옮길 때는 무엇을 원하는지부터 봅니다. 「n보다 5 큰 수」는 식 n + 5이고, 「n보다 5 큰 수는 12이다」는 등식 n + 5 = 12입니다. 등식과 방정식은 다음 과정 「일차방정식」에서 본격적으로 다룹니다.

곱셈 기호와 나눗셈 기호를 줄여 씁니다

문자를 쓴 식에서는 곱셈 기호 ×가 문자 x와 헷갈리기 쉬워서 곱셈 기호를 생략하는 약속을 씁니다. x × 3은 수를 문자 앞에 써서 3x로, b × 5 × a는 5ab처럼 수를 앞에, 문자는 보통 알파벳 순서로 씁니다. 1은 생략해서 1 × a는 a, (−1) × a는 −a로 씁니다. 같은 문자를 여러 번 곱하면 거듭제곱으로 나타내어 a × a × a는 a³입니다. 나눗셈 기호 ÷는 쓰지 않고 분수 꼴로 나타내어 a ÷ 4는 4분의 a, 화면에서는 a/4로 적습니다. 이렇게 줄여 써도 값은 그대로이고, 식이 짧아져서 서로 비교하기 쉬워질 뿐입니다. 다만 3 × 2처럼 수끼리의 곱셈은 32와 헷갈리므로 기호를 생략하지 않습니다.

줄이기 전	줄여 쓴 식
x × 3	3x
b × 5 × a	5ab
1 × a	a
(−1) × a	−a
a × a × a	a³
a ÷ 4	a/4 (4분의 a)
(x + y) × 2	2(x + y)

말을 식으로 옮기는 순서

말을 식으로 옮길 때는 「무엇에 무엇을 한다」를 찾습니다. 「a와 b의 합」은 a + b, 「20과 4의 차」는 20 − 4, 「6과 n의 곱」은 6n, 「x를 3으로 나눈 몫」은 x/3입니다. 우리말은 순서가 비교적 그대로 옮겨지지만 「~보다」가 들어간 말은 조심해야 합니다. 「y보다 8 큰 수」는 y + 8이고, 「9z보다 7 작은 수」는 9z − 7입니다. 7 − 9z로 쓰면 틀립니다. 헷갈릴 때는 문자 대신 수를 넣어 확인하면 됩니다. 「10보다 7 작은 수」는 3이고, 3이 나오는 식은 10 − 7뿐입니다.

문장이 길어도 모르는 수에 이름을 붙이고 나면 같은 방법으로 풉니다. 편의점에서 한 개에 1,200원인 삼각김밥 n개와 1,500원짜리 우유 1개를 산다고 해 봅시다. 삼각김밥값은 1200 × n = 1200n(원)이고, 우유값을 더하면 모두 (1200n + 1500)원입니다. 단위는 식 전체를 괄호로 묶고 그 뒤에 붙입니다. 다른 예로, 직사각형 창문의 세로가 가로보다 6 cm 짧다면 가로를 w cm라 할 때 세로는 (w − 6) cm입니다. 시작하기 전에 「n은 삼각김밥의 개수」처럼 문자가 무엇을 나타내는지 한 줄로 적어 두세요. 뜻을 적어 두지 않은 문자는 그럴듯해 보이는 식을 틀리게 만드는 가장 흔한 원인입니다.

식에는 등호가 없고 등식에는 등호가 있습니다. y + 8은 식이고 y + 8 = 40은 등식입니다. 문제에서 「식으로 나타내시오」라고 했는데 답에 =가 들어 있다면 묻는 것과 다른 답을 썼다는 뜻입니다.

a와 b의 합	a + b
a에서 b를 뺀 차	a − b
6과 n의 곱	6n
x를 3으로 나눈 몫	x/3
y보다 8 큰 수	y + 8
9z보다 7 작은 수	9z − 7
n의 2배보다 1 큰 수	2n + 1
변수	여러 가지 값을 가질 수 있는 수를 나타내는 문자
상수	값이 바뀌지 않는 수

y보다 8 큰 수를 식으로 나타내면?
- y + 8
- 8y
- y − 8
- 8 − y
9z보다 7 작은 수를 식으로 나타내면?
- 9z − 7
- 7 − 9z
- 9z + 7
- 63z
6과 n의 곱을 곱셈 기호를 생략해 쓰세요.
x × y × 3을 곱셈 기호를 생략해 쓰세요.
a × a × a를 거듭제곱으로 쓰세요.
a ÷ 4를 나눗셈 기호 없이 나타내면?
- a/4
- 4/a
- 4a
- a − 4
등식인 것은?
- y + 8 = 40
- y + 8
- 4 × 2 + 1
- x ÷ 25
민지는 동생보다 3살 많습니다. 동생이 a살일 때 민지의 나이는?
- (a + 3)살
- (a − 3)살
- 3a살
- a/3살
한 개에 1,200원인 삼각김밥 n개와 1,500원짜리 우유 1개의 값을 원 단위의 식으로 쓰세요(단위는 빼고 쓰세요).
귤의 개수는 사과의 개수 q의 5배보다 2 적습니다. 귤의 개수는?
- 5q − 2
- 2 − 5q
- 5(q − 2)
- 5q + 2
b × 5 × a를 곱셈 기호를 생략해 바르게 쓴 것은?
- 5ab
- b5a
- ab5
- 5 + a + b

자주 하는 실수

「x보다 7 작은 수는 7 − x이다.」 x에서 7을 빼는 것이므로 x − 7입니다. x = 10을 넣어 보면 10보다 7 작은 수는 3인데, 7 − 10은 −3이라 부호가 반대로 나옵니다.
「3x는 3 + x를 줄인 것이다.」 나란히 쓰면 곱한다는 뜻입니다. 3x는 3 × x이고, x = 4이면 3x는 12, 3 + x는 7입니다.
「1x, x3으로 써도 된다.」 값은 같지만 약속에 따라 1은 생략하고 수는 문자 앞에 써서 x, 3x로 씁니다. 약속한 꼴로 써야 다른 사람이 식을 빨리 읽습니다.

선생님 메모2022 개정 교육과정에서 문자는 중학교 1~3학년군 [9수02-01]에 나옵니다. 「다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 그 유용성을 인식하고, 식의 값을 구할 수 있다」입니다. 적용 시 고려 사항에는 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점을 탐색하게 하라는 내용도 있습니다. 그 전에 초등학교 5~6학년군 [6수02-01]에서 대응 관계를 □, △를 사용한 식으로 나타내 보았으므로, □ + 3을 먼저 쓰게 하고 그 □ 자리에 a를 넣어 a + 3으로 옮기면 자연스럽게 이어집니다. 학생들이 가장 많이 틀리는 곳은 「~보다 작은」을 옮길 때입니다. 식을 하나 쓸 때마다 수 하나를 넣어 맞는지 확인하는 습관을 들이게 하세요.

핵심 정리

변수는 여러 값을 가질 수 있는 수를 나타내는 문자이고, 상수는 값이 바뀌지 않는 수입니다.
식에는 등호가 없고, 등식은 두 식을 =로 이어 놓은 식입니다.
줄여 쓰기: 3x, 5ab, 1a는 a, a × a × a는 a³, a ÷ 4는 a/4.
「9z보다 7 작은 수」는 9z − 7입니다. 옮긴 식은 수를 넣어 확인합니다.

이 과정의 출처 (10)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
"René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

확인한 날: 2026-10-19