Des lettres pour les nombres : écrire une expression à partir de mots

En 1591, François Viète publia un livre où des lettres représentaient les nombres, voyelles pour les inconnus et consonnes pour les connus.

ContexteFrançois Viète était fils d'avocat et étudia lui-même le droit. Sa biographie MacTutor de l'université de St Andrews le cite se décrivant comme quelqu'un qui ne se disait pas mathématicien de profession, mais aimait les mathématiques à ses heures libres. Il était assez habile pour qu'Henri IV lui demande de lire les lettres chiffrées envoyées à son ennemi, Philippe II d'Espagne. Viète mit du temps, mais déchiffra le code. En 1591, à Tours, il publia In artem analyticam isagoge, que MacTutor présente comme la première notation algébrique systématique. Les lettres représentaient des quantités connues ou inconnues : consonnes pour les connues, voyelles pour les inconnues. L'usage actuel des premières lettres, a, b, c, pour les valeurs connues et des dernières, comme x, pour les inconnues vint plus tard avec La Géométrie de René Descartes, publiée à Leyde en 1637 en annexe du Discours de la méthode.

Une lettre peut représenter tous les âges à la fois

OpenStax commence l'algèbre avec deux personnes nées le même jour de l'année. Greg a 20 ans et Alex 23 cette année. Quand Greg avait 12 ans, Alex en avait 15 ; quand Greg en aura 35, Alex en aura 38. Quel que soit l'âge de Greg, Alex a 3 ans de plus. Les âges changent : ce sont des variables. L'écart de 3 ne change pas : c'est une constante. Appelle g l'âge de Greg ; une seule expression décrit toutes les lignes du tableau, g + 3. Une variable est une lettre représentant un nombre ou une quantité dont la valeur peut changer. On utilise souvent x, y, a, b et c, mais toute lettre convient si tu précises son sens.

Une expression est un nombre, une variable ou une combinaison de nombres, de variables et de symboles d'opération : 3 + 5, n − 1, 6 · 7 et g + 3 sont toutes des expressions. OpenStax compare une expression à un groupe de mots en anglais, comme « la somme de trois et cinq », qui n'a pas de verbe. Une équation relie deux expressions par un signe égal, et ce signe joue le rôle du verbe qui transforme un groupe de mots en phrase : 3 + 5 = 8 dit quelque chose qui est soit vrai, soit faux. Quand tu traduis des mots en algèbre, vérifie d'abord lequel des deux on te demande. « Cinq de plus que n » est un groupe de mots, donc la réponse est l'expression n + 5. « Cinq de plus que n vaut 12 » est une phrase, donc elle devient l'équation n + 5 = 12.

Écritures abrégées de la multiplication et de la division

En algèbre, on évite la croix de multiplication, car × ressemble à x. OpenStax demande : 3xy signifie-t-il 3 × y ou 3 · x · y ? Utilise un point médian, des parenthèses ou écris les facteurs côte à côte. Le nombre précède les lettres : x · 3 s'écrit 3x et b · 5 · a devient 5ab, généralement avec les lettres dans l'ordre alphabétique. Le facteur 1 est omis : 1 · a devient a, et −1 · a devient −a. Les facteurs répétés donnent une puissance : a · a · a devient a³, « a au cube ». La division s'écrit souvent en fraction : a ÷ 4 devient a sur 4, aussi saisi a/4. La valeur ne change pas ; les expressions sont simplement plus courtes et plus faciles à comparer.

Écriture complète	Écriture abrégée
x · 3	3x
b · 5 · a	5ab
1 · a	a
(−1) · a	−a
a · a · a	a³
a ÷ 4	a/4 (a sur 4)
(x + y) · 2	2(x + y)

Traduire des mots en expression

Beaucoup de formulations nomment une opération puis deux nombres. « La somme de a et b » est a + b, « la différence de 20 et 4 » est 20 − 4, « le produit de 6 par n » est 6n et « le quotient de x par 3 » est x/3. Repère les mots de, et et par pour trouver les deux nombres. Deux formulations exigent d'inverser l'ordre de lecture. « Huit de plus que y » ajoute 8 à y : y + 8. « Sept de moins que 9z » soustrait 7 à 9z : 9z − 7, pas 7 − 9z. Un test numérique lève le doute : sept de moins que 10 vaut 3, et seul 10 − 7 donne 3.

Les descriptions longues suivent la même logique une fois l'inconnue nommée. OpenStax décrit une fenêtre dont la hauteur est inférieure de 6 pouces à la largeur. Soit w la largeur ; la hauteur vaut w − 6. Autre exemple : le nombre de pièces de dix cents est inférieur de 2 à 5 fois le nombre de pièces de vingt-cinq cents. Soit q le nombre de pièces de vingt-cinq cents. Cinq fois ce nombre donne 5q, et 2 de moins donne 5q − 2. Pour les achats, même idée : si chaque cahier coûte 3 $ et un stylo 2 $, n cahiers et un stylo coûtent 3n + 2 dollars. Avant de commencer, écris une courte phrase définissant la lettre. Ne pas le faire est la cause la plus fréquente d'une expression apparemment juste mais fausse.

Une expression n'a pas de signe égal ; une équation en a un. y + 8 est une expression, y + 8 = 40 une équation. Si on demande une expression, répondre avec « = » revient à répondre à une autre question.

la somme de a et b	a + b
la différence de a et b	a − b
le produit de 6 par n	6n
le quotient de x par 3	x/3
huit de plus que y	y + 8
sept de moins que 9z	9z − 7
le double de n, plus 1	2n + 1
variable	une lettre pour une valeur qui peut changer
constante	un nombre dont la valeur ne change pas

Huit de plus que y :
- y + 8
- 8y
- y − 8
- 8 − y
Sept de moins que 9z :
- 9z − 7
- 7 − 9z
- 9z + 7
- 63z
Écris le produit de 6 par n sous forme abrégée.
Abrège x · y · 3.
Écris a · a · a comme une puissance.
Comment écrit-on généralement a ÷ 4 en algèbre ?
- a/4
- 4/a
- 4a
- a − 4
Laquelle est une équation ?
- y + 8 = 40
- y + 8
- 4 · 2 + 1
- x ÷ 25
Alex a 3 ans de plus que Greg, qui a g ans. L'âge d'Alex est :
- g + 3
- g − 3
- 3g
- g/3
Chaque cahier coûte 3 $ et un stylo 2. $ Écris le prix en dollars de n cahiers et un stylo.
Le nombre de pièces de dix cents est inférieur de 2 à 5 fois le nombre de pièces de vingt-cinq cents, q. Le nombre de pièces de dix cents est :
- 5q − 2
- 2 − 5q
- 5(q − 2)
- 5q + 2
Quelle est l'écriture habituelle de b · 5 · a ?
- 5ab
- b5a
- ab5
- 5 + a + b

Erreurs fréquentes

« Sept de moins que x vaut 7 − x. » On part de x et on enlève 7 : x − 7. Essaie x = 10. Sept de moins que 10 vaut 3, et 7 − 10 vaut −3 ; 7 − x donne le mauvais signe.
« 3x signifie 3 + x. » Côte à côte signifie multiplié. 3x vaut 3 · x. Avec x = 4, 3x vaut 12 et 3 + x vaut 7.
« 1x et x3 sont de bonnes écritures de x et 3x. » Elles donnent la bonne valeur, mais les conventions omettent le 1 et placent le nombre devant : x et 3x. L'écriture habituelle se lit plus vite en évaluation ou quand quelqu'un d'autre la lit.

Note du professeurDans le programme national coréen de 2022, les lettres arrivent au collège (de la 1re à la 3e année du collège) : l'objectif demande aux élèves d'écrire diverses situations sous forme d'expressions avec des lettres, de comprendre l'utilité des lettres et de trouver la valeur d'une expression. Les notes demandent aussi aux enseignants de comparer les lettres avec les nombres et avec le langage courant, en regardant ce qu'ils ont en commun et en quoi ils diffèrent. Auparavant, les 5e et 6e années du primaire écrivent déjà des relations avec des cases et des triangles ; le passage de la case à la lettre est donc un bon pont : écris d'abord □ + 3, puis a + 3. L'expression « de moins que » est celle où se produisent la plupart des erreurs de traduction. Demande aux élèves de tester chaque traduction avec un nombre avant de continuer.

L'essentiel

Une variable est une lettre pour un nombre qui peut changer ; une constante reste identique.
Une expression n'a pas de signe égal ; une équation relie deux expressions par =.
Abréviations : 3x, 5ab, a pour 1a, a³ pour a · a · a, a/4 pour a ÷ 4.
« Sept de moins que 9z » est 9z − 7. Teste les traductions avec un nombre.

Sources de ce cours (10)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
"René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

Consulté le: 2026-10-19