Буквы вместо чисел: от слов к выражениям

В 1591 году Франсуа Виет выпустил книгу, где числа обозначались буквами: неизвестные гласными, известные согласными.

Одна буква обозначает сразу любой возраст

OpenStax начинает главу об алгебре с двух людей, у которых один день рождения. Грегу в этом году 20, Алексу 23. Когда Грегу было 12, Алексу было 15; когда Грегу будет 35, Алексу будет 38. Каким бы ни был возраст Грега, Алекс старше на 3 года. Возрасты меняются, поэтому в алгебре они называются переменными. Разница в 3 года не меняется никогда, поэтому она постоянная. Обозначь возраст Грега буквой g, и каждую строку этой таблицы можно описать одним выражением g + 3. Переменная — это буква, обозначающая число или величину, значение которой может меняться. Для переменных часто берут буквы x, y, a, b и c, но подойдёт любая, если ты объяснишь, что она означает.

Выражение — число, переменная или сочетание чисел, переменных и знаков действий: 3 + 5, n − 1, 6 · 7 и g + 3 являются выражениями. OpenStax сравнивает выражение с английским словосочетанием без глагола, например «сумма трёх и пяти». Уравнение соединяет два выражения знаком равенства. Этот знак действует как глагол, превращающий словосочетание в предложение: 3 + 5 = 8 утверждает нечто истинное или ложное. Переводя слова на язык алгебры, сначала проверь, что именно требуется. «На пять больше n» является словосочетанием, поэтому ответ — выражение n + 5. «На пять больше n равно 12» является предложением, поэтому получается уравнение n + 5 = 12.

Краткая запись умножения и деления

В алгебре избегают крестика при умножении, потому что × похож на букву x. OpenStax спрашивает: означает ли 3xy запись 3 × y или 3 · x · y? Вместо крестика используй точку, скобки или просто записывай множители рядом. Число ставят перед буквами, поэтому x · 3 записывают как 3x, а b · 5 · a как 5ab; буквы обычно располагают по алфавиту. Множитель 1 не пишут: 1 · a превращается в a, а −1 · a в −a. Повторяющиеся множители записывают степенью: a · a · a становится a³, «a в кубе». Деление обычно записывают дробью: a ÷ 4 становится дробью с a над 4, которую можно набрать как a/4. Значение от этого не меняется. Запись лишь становится короче, а выражения легче сравнивать.

От слов к выражению

Большинство словесных описаний называет действие и два числа. «Сумма a и b» означает a + b, «разность 20 и 4» означает 20 − 4, «произведение 6 и n» означает 6n, а «частное x и 3» означает x/3. В английском описании слова of и and помогают выделить эти два числа. С двумя оборотами нужно быть внимательнее: порядок чисел меняется относительно порядка чтения. «На восемь больше y» означает прибавление 8 к y, то есть y + 8. «На семь меньше 9z» означает вычитание 7 из 9z, то есть 9z − 7, а не 7 − 9z. Быстрая проверка числами снимает сомнения: на семь меньше 10 будет 3, и только 10 − 7 даёт 3.

Более длинные описания переводятся так же, если назвать неизвестное. OpenStax описывает окно, высота которого на 6 дюймов меньше ширины. Пусть w означает ширину, тогда высота равна w − 6. Ещё пример: число десятицентовых монет в кошельке на 2 меньше пятикратного числа четвертаков. Пусть q означает число четвертаков. Пятикратное число четвертаков равно 5q, а на 2 меньше будет 5q − 2. Задачи о покупках устроены так же. Если тетрадь стоит $3, а ручка $2, то n тетрадей и одна ручка стоят 3n + 2 доллара. Прежде чем начать, коротко запиши, что означает буква. Чаще всего правильное на вид выражение оказывается неверным именно потому, что смысл буквы нигде не записали.