edubun
Русский
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Главная›Алгебра›Выражения

Значение выражения и порядок действий

Если считать 4 + 3 · 7 слева направо, получится 49; если сначала умножить, получится 25. Значение может быть только одно, поэтому порядок действий согласуют заранее.

Привычка слева направо даёт 49

Раздел о порядке действий в OpenStax начинается именно с выражения 4 + 3 · 7 и двух групп учеников. Первая читает его как предложение: 4 + 3 равно 7, а 7 · 7 равно 49. Вторая сначала умножает: 3 · 7 равно 21, а 4 + 21 равно 25. Обе группы правильно выполнили арифметические действия, значит, разногласие не в сложении или умножении. Оно в том, какое действие выполнять первым. Если бы одно выражение могло означать два разных числа, никто не смог бы записать формулу для других людей. Поэтому математики установили единый порядок, и ответ равен 25.

Привычка считать слева направо не глупа. Она верна для ряда сложений и вычитаний, а также для ряда умножений и делений. Ошибка возникает, когда эти два вида действий смешиваются, потому что умножение связывает сильнее сложения. Представляй 4 + 3 · 7 как 4 плюс три семёрки: 3 · 7 является единым блоком, одной величиной, к которой прибавляют 4. При таком чтении 25 перестаёт выглядеть результатом заученного правила и становится смыслом самого выражения.

Согласованный порядок по шагам

  1. Скобки и другие группировки, сначала внутренние.
  2. Степени.
  3. Умножение и деление слева направо.
  4. Сложение и вычитание слева направо.

В англоязычных классах порядок запоминают как PEMDAS по шуточной фразе, которую приводит OpenStax: «Please Excuse My Dear Aunt Sally». Важнее порядка букв их объединение в пары. «My Dear» стоят вместе, потому что умножение и деление имеют одинаковый приоритет и выполняются слева направо. Поэтому 18 ÷ 9 · 2 равно 2 · 2 = 4, а не 18 ÷ 18 = 1. То же верно для «Aunt Sally»: 10 − 3 + 2 равно 9, а не 5. Более длинный пример из той же книги: 18 ÷ 6 + 4(5 − 2). В скобках получается 3, затем 18 ÷ 6 равно 3, а 4 · 3 равно 12, и 3 + 12 = 15.

Скобки внутри скобок раскрывают изнутри наружу. В выражении 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)] начни с 4 − 2 = 2. Тогда в квадратных скобках получается 6 − 3 · 2 = 0, а трижды ноль равно 0. Степень 2³ равна 8, поэтому всё выражение равно 5 + 8 + 0 = 13. Записывай каждый шаг с новой строки под предыдущим. OpenStax рекомендует такую запись сверху вниз: так легче всего найти место ошибки, поскольку каждая строка является полным, более коротким выражением с тем же значением, что и строка выше.

Подстановка числа вместо буквы

Найти значение выражения означает вычислить его результат при замене переменной данным числом. Сначала выполни подстановку, затем упрощай, соблюдая порядок действий. Для 9x − 2 при x = 5 получается 9 · 5 − 2 = 45 − 2 = 43. При x = 1 получается 9 − 2 = 7. Выражение то же, но значения разные, поскольку результат зависит от подставленного числа. При подстановке возвращай знак умножения. При x = 4 выражение 3x равно 3 · 4 = 12; если просто приписать 4 к 3, получится 34, совсем другое число.

Отрицательные числа подставляй в скобках. При x = −3 выражение x² равно (−3)² = (−3) · (−3) = 9. Выражение −x² другое: сначала вычисляют степень, затем применяют минус, поэтому при x = −3 получается −9, и при x = 3 тоже −9. Скобки защищают и вычитание: 5 − x при x = −2 равно 5 − (−2) = 7. Электронная таблица удобна для вычисления одного выражения сразу при многих значениях; именно это предлагается сделать в лаборатории ниже.

Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

В электронных таблицах для умножения нужен знак *, а для степени ^, поэтому 9x − 2 записывается как =9*A2-2. Протяни формулы из B2 и C2 вниз и сравни со своими вычислениями. Затем введи в D2 формулу =-A2^2: при x = −3 таблица покажет 9, потому что Excel и Google Sheets применяют минус раньше возведения в степень. Замени формулу на =-(A2^2), чтобы получить алгебраическое значение −9.
В списке приоритетов операций Microsoft для Excel отрицание, как в −1, стоит выше возведения в степень. Поэтому =-3^2 в таблице даёт 9, тогда как −3² на бумаге равно −9. Когда рядом минус и степень, всегда используй скобки.
  1. Упрости 4 + 3 · 7.
  2. Упрости (4 + 3) · 7.
  3. Упрости 18 ÷ 9 · 2.
  4. Упрости 18 ÷ 6 + 4(5 − 2).
  5. Упрости 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)].
  6. Упрости 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5².
  7. Вычисли 9x − 2 при x = 5.
  8. Вычисли 3x + 7 при x = 4.
  9. Вычисли x² при x = −3.
  10. Вычисли −x² при x = 3.
  11. Вычисли 5 − x при x = −2.
  12. Какая формула электронной таблицы вычисляет 9x − 2, если x записан в A2?
    • =9*A2-2
    • =9A2-2
    • =9*(A2-2)
    • 9*A2-2
Частые ошибки
  • «2 + 3 · 4 = 20, потому что идём слева направо». Умножение раньше сложения: 3 · 4 = 12, затем 2 + 12 = 14. Слева направо выполняют действия равного приоритета.
  • «Умножение всегда раньше деления: 18 ÷ 9 · 2 = 18 ÷ 18 = 1». Приоритет одинаков. Слева направо: 18 ÷ 9 = 2, затем 2 · 2 = 4.
  • «При x = −3 значение x² равно −9». Подставляй в скобках: (−3)² = 9. Значение −9 принадлежит −x², где степень раньше минуса.
Заметка для учителяВ национальной учебной программе Южной Кореи 2022 года порядок смешанных вычислений с четырьмя арифметическими действиями относится к 5–6 классам начальной школы. Примечания предлагают сосредоточиться на порядке и избегать чрезмерно сложных вычислений. Степени добавляются в средней школе, а стандарт по буквенным выражениям завершается нахождением значения выражения. В программе подстановка указана как термин, а выражение «значение выражения» разрешено использовать на уроках. Для торопливых учеников полезна проверка: записать одно выражение дважды, вычислить с нужным порядком и слева направо, затем сравнить. Большинство трудностей с отрицательными числами исчезает, когда подстановка со скобками становится привычкой.
Главное
  • Порядок: скобки, степени, умножение и деление слева направо, сложение и вычитание слева направо.
  • Чтобы найти значение, подставь число вместо буквы и упрости.
  • Отрицательные числа подставляй в скобках: (−3)² = 9, но −3² = −9.
  • В таблицах используют * и ^, а минус в начале применяется раньше степени.
Источники курса (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

Проверено: 2026-10-19