Termwerte und Rechenreihenfolge

Rechne 4 + 3 · 7 von links nach rechts: 49. Multipliziere zuerst: 25. Nur eines kann der Wert sein, deshalb legt man die Reihenfolge vorher fest.

Die Gewohnheit links nach rechts ergibt 49

OpenStax beginnt die Rechenreihenfolge mit 4 + 3 · 7 und zwei Schülergruppen. Die erste liest wie einen Satz: 4 + 3 ist 7, dann 7 · 7 gleich 49. Die zweite multipliziert zuerst: 3 · 7 ist 21, dann 4 + 21 gleich 25. Beide rechnen richtig; der Unterschied betrifft nicht das Addieren oder Multiplizieren, sondern die Reihenfolge. Könnte derselbe Term zwei Zahlen bedeuten, könnte niemand eine Formel für andere schreiben. Deshalb wurde eine Reihenfolge festgelegt: Das Ergebnis ist 25.

Die Gewohnheit, von links nach rechts zu rechnen, ist nicht unsinnig. Sie stimmt bei einer Reihe von Additionen und Subtraktionen und ebenso bei einer Reihe von Multiplikationen und Divisionen. Sie geht schief, wenn beide Arten gemischt sind, weil die Multiplikation stärker bindet als die Addition. Stell dir 4 + 3 · 7 als 4 plus drei Siebener vor: 3 · 7 ist ein Block, eine einzige Menge, und die 4 wird zu diesem Block addiert. So gelesen sieht 25 nicht mehr wie eine auswendig zu lernende Regel aus, sondern wie die Bedeutung des Terms.

Die vereinbarte Reihenfolge

1. Klammern und andere Gruppierungen, von innen nach außen.
2. Potenzen.
3. Multiplikation und Division von links nach rechts.
4. Addition und Subtraktion von links nach rechts.

Im englischsprachigen Unterricht merkt man sich PEMDAS mit dem von OpenStax zitierten Satz „Please Excuse My Dear Aunt Sally“. Wichtiger als die Buchstabenfolge sind die Paare. „My Dear“ gehört zusammen, weil Multiplikation und Division gleichrangig sind; rechne, was links zuerst kommt. Also ist 18 ÷ 9 · 2 gleich 2 · 2 = 4, nicht 18 ÷ 18 = 1. Ebenso „Aunt Sally“: 10 − 3 + 2 ist 9, nicht 5. Ein längeres Buchbeispiel: 18 ÷ 6 + 4(5 − 2). Die Klammer ergibt 3, dann 18 ÷ 6 gleich 3 und 4 · 3 gleich 12; zusammen 3 + 12 = 15.

Klammern innerhalb von Klammern rechnest du von innen nach außen. In 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)] beginnst du mit 4 − 2 = 2. Die eckige Klammer enthält dann 6 − 3 · 2 = 0, und dreimal null ist 0. Die Potenz 2³ ist 8, also ist das Ganze 5 + 8 + 0 = 13. Schreibe jeden Schritt in eine eigene Zeile unter den vorigen. OpenStax empfiehlt diese Gewohnheit, auf der Seite nach unten zu rechnen. Sie ist der einfachste Weg, die Stelle zu finden, an der sich ein Fehler eingeschlichen hat, denn jede Zeile ist ein vollständiger, kürzerer Term mit demselben Wert wie die Zeile darüber.

Eine Zahl für den Buchstaben einsetzen

Einen Term auszuwerten bedeutet, seinen Wert zu bestimmen, wenn die Variable durch eine gegebene Zahl ersetzt wird. Du setzt ein und vereinfachst dann nach der Rechenreihenfolge. Für 9x − 2 mit x = 5 wird der Term zu 9 · 5 − 2 = 45 − 2 = 43. Mit x = 1 wird er zu 9 − 2 = 7. Es ist derselbe Term mit verschiedenen Werten, denn der Wert hängt von der Zahl ab, die du einsetzt. Schreibe beim Einsetzen das Malzeichen wieder hin. Mit x = 4 ist 3x gleich 3 · 4 = 12, und wer die 4 direkt hinter die 3 schreibt, sieht 34, und das ist eine andere Zahl.

Negative Zahlen setzt du mit Klammern ein. Bei x = −3 ist x² gleich (−3)² = (−3) · (−3) = 9. −x² ist anders: erst die Potenz, dann das Minus, also bei x = −3 gleich −9 und bei x = 3 ebenfalls −9. Klammern schützen auch Subtraktionen: 5 − x wird bei x = −2 zu 5 − (−2) = 7. Eine Tabellenkalkulation wertet einen Term für viele Zahlen zugleich aus; genau das probierst du unten.